第19页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

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 解：（1）由题意，得$\Delta =[-(2k - 3)]^{2}-4(k^{2}+1)=4k^{2}-12k + 9 - 4k^{2}-4=-12k + 5＞0，$

 移项可得$-12k＞-5，$

 两边同时除以$-12，$不等号方向改变，解得$k＜\frac{5}{12}。$

 （2）由题意，得$x_{1}+x_{2}=2k - 3，$$x_{1}x_{2}=k^{2}+1＞0。$

 由（1），知$k＜\frac{5}{12}，$则$x_{1}+x_{2}=2k - 3＜2\times\frac{5}{12}-3=\frac{5}{6}-3=-\frac{13}{6}＜0。$

 所以$x_{1}＜0，$$x_{2}＜0。$

 原方程可化为$-(x_{1}+x_{2})=2x_{1}x_{2}-3。$

 即$-(2k - 3)=2(k^{2}+1)-3，$

 去括号得$-2k + 3=2k^{2}+2 - 3，$

 移项得$2k^{2}+2k - 4 = 0，$两边同时除以$2$得$k^{2}+k - 2 = 0，$

 因式分解得$(k + 2)(k - 1)=0，$

 则$k + 2=0$或$k - 1=0，$

 解得$k_{1}=1$（不合题意，舍去），$k_{2}=-2。$

 所以$k$的值为$-2。$

 解：（1）因为$\Delta =(-\frac{m}{2})^{2}-4\times\frac{1}{4}\times(m - 1)=\frac{m^{2}}{4}-m + 1=(\frac{m}{2}-1)^{2}\geq0，$

 所以无论$m$取何值，方程总有两个实数根。

 （2）因为$\square ABCD$是菱形，所以$AB = AD。$

 由题意，可知方程有两个相等的实数根。

 所以$\Delta =(\frac{m}{2}-1)^{2}=0，$

 则$\frac{m}{2}-1 = 0，$

 移项得$\frac{m}{2}=1，$

 解得$m = 2。$

 当$m = 2$时，原方程为$\frac{1}{4}x^{2}-x + 1 = 0，$

 方程两边同时乘以$4$得$x^{2}-4x + 4 = 0，$

 因式分解得$(x - 2)^{2}=0，$

 解得$x_{1}=x_{2}=2。$

 所以此时菱形的边长为$2。$

 解：（1）由题意，得$\Delta =(-6)^{2}-4(2m - 1)\geq0，$

 即$36-8m + 4\geq0，$

 $40-8m\geq0，$

 移项得$8m\leq40，$

 解得$m\leq5。$

 由韦达定理可得$x_{1}+x_{2}=6，$$x_{1}x_{2}=2m - 1。$

 因为$x_{1}=1，$所以$1 + x_{2}=6，$解得$x_{2}=5。$

 又因为$x_{2}=2m - 1，$所以$2m - 1=5，$

 移项得$2m=6，$

 解得$m = 3。$

 （2）存在。

 由题意，得$m\neq5。$

 因为$m\leq5，$所以$m＜5。$

 因为$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=\frac{6}{m - 5}，$

 所以$x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=\frac{6}{m - 5}，$

 即$2m - 1-6 + 1=\frac{6}{m - 5}，$

 $2m - 6=\frac{6}{m - 5}，$

 两边同时乘以$m - 5$得$(2m - 6)(m - 5)=6，$

 去括号得$2m^{2}-10m-6m + 30 = 6，$

 移项得$2m^{2}-16m + 24 = 0，$

 两边同时除以$2$得$m^{2}-8m + 12 = 0，$

 因式分解得$(m - 2)(m - 6)=0，$

 则$m - 2=0$或$m - 6=0，$

 解得$m_{1}=2，$$m_{2}=6。$

 经检验，$m_{1}=2，$$m_{2}=6$为原分式方程的解。

 因为$m＜5，$所以$m = 2。$