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解：​$(1)①$​如图​$①，$​
∵​$BP，CP $​分别平分​$△ABC$​的外角​$∠CBM$​和
​$∠BCN， $​
∴​$∠PBC=∠PBM=\frac {1}{2}∠CBM=\frac {1}{2}(α+β)，$​
​$∠1=\frac {1}{2}∠BCN=\frac {1}{2}(180°−β)，$​
∴​$∠BPC=180°−∠PBC−∠1$​
​$=180°−\frac {1}{2}(α+β)−\frac {1}{2}(180°−β)$​
​$=90°-\frac {1}{2}α$​
​$②$​在​$Rt△PBD$​中​$，∠PBD=90°−∠BPD.$​
∵​$∠BPD=∠PBM−∠2=\frac {1}{2}(α+β)−\frac 12α=\frac 12β$​
∴​$∠PBD=90°-\frac {1}{2}β.$​
​$(2)①$​如图​$②$​所示​$. $​
​$②(1)$​中的两个结论都发生了变化​$，$​
​$∠BPC=90°+\frac 12α；∠PBD=\frac {β}{2}$​
理由如下:∵​$∠BAC=α，$​
∴​$∠ABC+∠ACB=180°−α.$​
∵点​$P $​为​$△ABC$​的三条内角平分线的交点，
∴​$∠PBC=\frac {1}{2}∠ABC，∠PCB=\frac {1}{2}∠ACB，$​
∴​$∠PBC+∠PCB=\frac {1}{2}(∠ABC+∠ACB)$​
​$=90°−\frac {1}{2}α，$​
∴​$∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)$​
​$=180°−\frac {1}{2}(∠ABC+∠ACB)$​
​$=90°+\frac {1}{2}α.$​
∵​$BD⊥AD$​
∴​$∠ADB=90°.$​
∵​$∠BPD=∠BAP+∠ABP$​
​$=\frac {1}{2}(∠ABC+∠BAC)$​
​$=\frac {1}{2}(180°−∠ACB)=90°−\frac {1}{2}β.$​
∴​$∠PBD=90°−(90°−\frac 12β)=\frac 12β.$​
解：​$(1)AB//CD.$​
理由如下：∵​$EM$​平分​$∠AEF，$​
∴​$∠AEM=∠FEM.$​
∵​$∠FEM=∠FME，$​
∴​$∠AEM=∠FME，$​
∴​$AB∥CD.$​
​$(2)①$​如图​$①$​中​$，$​

∵​$HN⊥EM，$​
∴​$∠HNE=90°.$​
∵​$α=30°，$​
∴​$∠HEN= 90°−∠EHN=60°.$​
∵​$EH$​平分​$∠FEG，$​
∴​$∠HEF=∠HEG.$​
∵​$∠AEM=∠EMF，$​
∴​$∠HEN=\frac {1}{2}∠FEG+\frac {1}{2}∠AEF=\frac {1}{2}∠AEG=60°，$​
∴​$∠AEG=120°，$​
∴​$∠GEB=60°.$​
∵​$AB∥CD，$​
∴​$∠BEG=∠EGF=β=60°. $​
​$②$​猜想​$：α=\frac 12β$​或​$α=90°−\frac 12β，$​
证明如下​$： $​当点​$G $​在点​$F $​的右侧时​$，$​如图​$①，$​
∵​$AB∥CD，$​
∴​$∠BEG=∠EGH=β，$​
∴​$∠AEG=180°−β.$​
∵​$∠AEM=∠MEF、$​​$∠HEF=∠HEG$​
∴​$∠HEN= \frac {1}{2}∠AEG=90°−\frac {1}{2}β.$​
∵​$HN⊥EM，$​
∴​$∠HNE=90°，$​
∴​$α=∠EHN=90°−∠HEN=\frac {1}{2}β $​
当点​$G $​在点​$F $​的左侧时​$，$​如图​$②，$​

∵​$AB∥CD，$​
∴​$∠BEG=180°−∠EGH=180°−β，$​
​$∠AEG=∠EGH=β.$​
∵​$EM$​平分​$∠AEF，EH$​平分​$∠FEG，$​
∴​$∠MEF=∠AEM=∠EMF=\frac {1}{2}∠AEF，$​
​$∠HEF=∠HEG=\frac {1}{2}∠FEG，$​
∴​$∠HEN=∠MEF−∠HEF$​
​$=\frac {1}{2}(∠AEF−∠FEG)$​
​$=\frac {1}{2}∠AEG=\frac {1}{2}β.$​
∵​$HN⊥EM，$​
∴​$∠HNE=90°，$​
∴​$α=∠EHN=90°−∠HEN=90°−\frac 12β. $​
综上所述​$，α=\frac 12β$​或​$α==90°−\frac 12β$​
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