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解：$(1)$设$A$类门票买了$x$张，$B$类门票买了$y$张。

$ $根据题意可得方程组$\begin {cases}x + y = 7\\1400x + 840y = 7000\end {cases}$

解得：$\begin {cases}{x=2}\\{y=5}\end {cases}$

答：$A$类门票买了$2$张，$B$类门票买了$5$张。

$ (2)$设购买$C$类门票$m $张，则购买$B$类门票$(10 - m)$

张。

$ $根据题意得$840×(10 - m)+560m\leq 7000$

解得：$m\geq 5$

答：最少购买$C$类门票$5$张。

$ (3)$设购买$A$类门票$a$张，$C$类门票$b$张。

$ $根据题意得$1400a + 840×5+560b = 12600$

解得：$a=6-\frac {2}{5}b$

又∵$a，$$b$均为正整数，

∴$\begin {cases}a = 4\\b = 5\end {cases}$或$\begin {cases}a = 2\\b = 10\end {cases}。$

∴共有$2$种购买方案，

方案$1$：购买$A$类门票$4$张，$B$类门票$5$张，$C$类门

票$5$张；

方案$2$：购买$A$类门票$2$张，$B$类门票$5$张，$C$类门

票$10$张。

解：$(1)$设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱

的进价分别是$x$元和$y$元。

$ $根据题意可得方程组$\begin {cases}3x + 2y = 420\\4x + 5y = 910\end {cases}$

解得：$\begin {cases}{x=40}\\{y=150}\end {cases}$

答：特级鲜品猴头菇每箱进价为$40$元，特级干品

猴头菇每箱进价为$150$元。

$ (2)$设商店计划购进特级鲜品猴头菇$m $箱，则购进

特级干品猴头菇$(80 - m)$箱。

根据题意得

$\begin {cases}(50 - 40)m+(180 - 150)×(80 - m)\geq 1560\\80 - m\leq 40\end {cases}$

解得$40≤m≤42$

∵$m $为正整数，

∴$m = 40$或$41$或$42。$

故该商店有三种进货方案，分别为

$①$购进特级鲜品猴头菇$40$箱，特级干品猴头菇

$40$箱；$②$购进特级鲜品猴头菇$41$箱，特级干品猴

头菇$39$箱；$③$购进特级鲜品猴头菇$42$箱，特级干

品猴头菇$38$箱。

$ (3)$商店的进货方案是购进特级干品猴头菇$40$箱，

特级鲜品猴头菇$40$箱。