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解：​$ (1)$​不等式​$A$​：​$x + 2＞1，$​解得​$x＞-1，$​
不等式​$B$​：​$x＞3，$​
因为​$x＞3$​的解都是​$x＞-1$​的解，
所以​$A$​与​$B$​存在​$“$​雅含​$”$​关系，​$B$​是​$A$​的​$“$​子式​$”。$​
​$ (2)$​不等式​$C$​：​$\frac {x - 1}{2}＜\frac {a + 1}{3}，$​解得​$x＜\frac {2a + 5}{3}；$​
​$ $​不等式​$D$​：​$2x-(3 - x)＜3，$​解得​$x＜2。$​
​$ $​因为​$C$​是​$D$​的​$“$​子式​$”，$​
所以​$\frac {2a + 5}{3}\leq 2，$​解得​$a\leq \frac {1}{2}。$​
​$ (3)$​由​$\begin {cases}2m + n=k\\m - n=3\end {cases}，$​解得：​$\begin {cases}{m=\dfrac {k + 3}{3}}\\{n=\dfrac {k - 6}{3}}\end {cases}$​
因为​$m\geq \frac {1}{2}，$​​$n＜-1，$​
所以​$\begin {cases}\dfrac {k + 3}{3}\geq \dfrac{1}{2}\\\dfrac {k - 6}{3}＜-1\end {cases}，$​
解得​$-1.5\leq k＜3，$​
因为​$k$​为整数，
所以​$k$​的值为​$-1，0，1，2。$​
​$ $​不等式​$P$​：​$kx + 6＞x + 4，$​整理得​$(k - 1)x＞-2；$​
不等式​$Q$​：​$6(2x - 1)\leq 4x + 2，$​解得​$x\leq 1。$​
​$ ①$​当​$k = 1$​时，不等式​$P $​的解集是全体数，​$P $​与​$Q $​存
在“雅含”关系，且​$Q $​是​$P $​的​$“$​子式​$”；$​
​$ ②$​当​$k＞1$​时，不等式​$P $​的解集为​$x＞\frac {-2}{k - 1}，$​不能满
足​$P $​与​$Q $​存在​$“$​雅含​$”$​关系；
​$ ③$​当​$k＜1$​时，不等式​$P $​的解集为​$x＜\frac {-2}{k - 1}，$​
因为​$P $​与​$Q $​存在​$“$​雅含​$”$​关系，且​$Q $​是​$P $​的​$“$​子式​$”，$​
所以​$k - 1＜0，$​且​$\frac {-2}{k - 1}＞1，$​
解得：​$-1＜k＜1，$​
所以​$k = 0。$​
综上，​$k$​的值为​$0$​或​$1。$​
$\begin{cases}x=-1\\y=\frac{7}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x = 2\\y=-1\end{cases}$
解 ：​$(2)$​方程​$ax + by = c $​与它的​$“$​交换系数方程​$”$​
组成的方程组为​$\begin {cases}ax + by = c\\cx + by = a\end {cases}$​或​$\begin {cases}ax + by = c\\ax + cy = b\end {cases}。$​
​$ $​当​$a + b + c = 0$​时，
对于​$\begin {cases}ax + by = c\\cx + by = a\end {cases}，$​解得：​$\begin {cases}{x=-1}\\{y=-1}\end {cases}$​
​$ $​对于​$\begin {cases}ax + by = c\\ax + cy = b\end {cases}，$​解得：​$\begin {cases}{x=-1}\\{y=-1}\end {cases}$​
​$ $​把​$\begin {cases}x=-1\\y =-1\end {cases}$​代入​$mx+ny = p，$​得​$-(m + n)=p。$​
​$ $​所以​$(m + n)m-p(n + p)+2025$​
​$=-pm-pn-p^2+2025$​
​$=-p(m + n)-p^2+2025$​
​$=(-p)^2-p^2+2025 $​
​$= 2025$​
​$ (3)(1 + n)x+2025y = 2m + 2$​的​$“$​交换系数方
程​$”$​为​$(2m + 2)x+2025y = 1 + n$​或
​$(1 + n)x+(2m + 2)y = 2025。$​
​$ $​因为​$(10m - t)x+2025y = m + t $​是关于​$x，y$​的二
元一次方程​$(1 + n)x+2025y = 2m + 2$​的​$“$​交换
系数方程”，
所以当​$(10m - t)x+2025y = m + t $​各系数与
​$(2m + 2)x+2025y = 1 + n$​各系数对应相等时，
得​$\begin {cases}10m - t=2m + 2\\m + t=1 + n\end {cases}，$​解得：​$\begin {cases}{m=\dfrac {t+2}8}\\{n=\dfrac {9t-6}8}\end {cases}$​
∵​$t＜n＜8m，$​
∴​$t＜\frac {9t−6}{8}＜1+2，$​解得​$6＜1＜22(t $​为整数​$).$​
∴​$8＜1+2＜24，$​
∴若​$m=\frac {t+2}{8}$​为整数​$，$​必须有​$t+2=16，$​此时
​$m=2.$​
∴​$t=14.$​
当​$t=14$​时​$，n=\frac {9t−6}{8}=\frac {9×14−6}{8}=\frac {126−6}{8}$​
​$=\frac {120}{8}=15，$​符合题意
∴​$m=2$​
​$ $​当​$(10m - t)x+2025y = m + t $​各系数与
​$(1 + n)x+(2m + 2)y = 2025$​各系数对应相等时，
得​$\begin {cases}10m - t=1 + n\\2025=2m + 2\\m + t=2025\end {cases}，$​
解得​$m=\frac {2023}{2}($​不是整数，舍去）。
综上，​$m = 2。$​
$-2.5,2$
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