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解：$(1) $由题意可知，

$S_{1}=a(a + 4b)=(a^2+4ab)$平方米

$S_{2}=(a + 3b)(a + 4b)-S_{1}$

$=(a + 3b)(a + 4b)-(a^2+4ab)$

$=(a^2+4ab+3ab + 12b^2)-(a^2+4ab)$

$=a^2+4ab+3ab + 12b^2-a^2-4ab$

$=(3ab + 12b^2)$平方米

$ (2) $当$a = 2，$$b = 4$时，

$S_{2}=3ab + 12b^2$

$=3×2×4+12×4^2$

$=24 + 192 $

$= 216($平方米$)$

$a - x$

解：$(1) ②$两个正方形的面积之和

$\begin {aligned}S &= x^2+(a - x)^2\\&=x^2+a^2-2ax+x^2\\&=2x^2-2ax + a^2\end {aligned}$

$ (2) $因为四边形$APCD、$四边形$PBEF $均为正方形，

$AP = x，$$BP = a - x，$

所以$CF=PF - PC=a - x - x=a - 2x。$

$ $阴影部分的面积$S = S_{正方形APCD}+S_{正方形PBEF}+S_{\triangle FCD}-S_{\triangle ABD}-S_{\triangle EFB}$

$ \begin {aligned}&=x^2+(a - x)^2+\frac {1}{2}x·(a - 2x)-\frac {1}{2}x·a-\frac {1}{2}(a - x)^2\\&=x^2+\frac {1}{2}(a - x)^2+\frac {1}{2}x·(a - 2x)-\frac {1}{2}x·a\\&=x^2+\frac {1}{2}(a^2-2ax+x^2)+\frac {1}{2}(ax - 2x^2)-\frac {1}{2}ax\\&=x^2+\frac {1}{2}a^2-ax+\frac {1}{2}x^2+\frac {1}{2}ax - x^2-\frac {1}{2}ax\\&=\frac {1}{2}x^2+\frac {1}{2}a^2-ax\end {aligned}$

$ (a + b)^2=a^2+$

$2ab + b^2$

$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$

$10$