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解：​$(1)$​是​$.$​
理由如下：
因为​$AB⊥OM，$​
所以​$∠OAB = 90°，$
所以​$∠ABO = 90° - ∠MON = 30°.$
​因为​$∠OAB = 3∠ABO，$
​所以​$△AOB$​是​$“3$​倍角三角形​$”.$​
​$ (2)$​因为​$∠MON = 60°，$​
所以当​$∠OAC = \frac {1}{3}∠AOB = 20°$​时，​$△AOC$​是
​$“3$​倍角三角形​$”，$​
所以​$∠ACB = ∠OAC + ∠AOB = 80°；$
​当​$3∠OAC = ∠ACO，$​即​$∠OAC = 30°$​时，
​$△AOC$​是​$“3$​倍角三角形​$”，$​
所以​$∠ACB = 90°.$​
所以​$∠ACB$​的度数为​$80°$​或​$90°.$​
​$ (3)$​因为​$∠EFC + ∠BDC = 180°，$
​​$∠ADC + ∠BDC = 180°，$​
所以​$∠EFC = ∠ADC，$
​所以​$AD∥EF，$​
所以​$∠DEF = ∠ADE.$​
因为​$∠DEF = ∠B，$​
所以​$∠B = ∠ADE，$​
所以​$DE∥BC，$​
所以​$∠CDE = ∠BCD.$​
因为​$DE$​平分​$∠ADC，$​
所以​$∠ADE = ∠CDE，$​
所以​$∠B = ∠BCD.$​
因为​$△BCD$​是​$“3$​倍角三角形​$”，$
​所以​$∠BDC = 3∠B$​或​$∠B = 3∠BDC.$​
因为​$∠BDC + ∠BCD + ∠B = 180°，$
​即​$5∠B = 180°$​或​$\frac {7}{3}∠B = 180°，$​
解得​$∠B = 36°$​或​$∠B = (\frac {540}{7})°.$​
20°
$90^{\circ}-\frac{1}{2}(\alpha + \beta)$
解：​$(1)CN//BM$​
理由如下​$： $​因为​$α+β=180°，$​
所以​$AB∥CD，$​
所以​$∠DCE=∠ABC.$​
因为​$BM，CN$​分别是​$∠ABC，∠DCE$​的平分线​$，$​
所以​$∠ECN=∠CBM， $​
所以​$CN∥BM.$​
​$(2)②∠BOC=\frac {1}{2}(α+β)−90°，$​
理由如下​$：$​因为四边形内角和为​$360°， $​
所以​$∠ABC+∠BCD=360°−(α+β).$​
因为​$BM，CN$​分别是​$∠ABC， ∠DCE$​的平分线​$，$​
所以​$∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM. $​
设​$∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y， $​
因为​$∠ECN=∠BOC+∠CBM，$​
所以​$x=∠BOC+y，$​
所以​$∠BOC=x−y， $​
因为​$∠ECD+∠DCB=180°，$​
所以​$2x+360°−(α+β)−2y=180°，$​
所以​$ x−y=\frac {1}{2}(α+β)−90°，$​
所以​$∠BOC=\frac {1}{2}(α+β)−90°. $​
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