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第153页

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$40^{\circ}$

$70^{\circ}$

解：互补。理由如下：

因为$BO，CO$分别是$∠ABC$与$∠ACB$

的平分线，

所以$∠ABO=∠OBC，$

$∠OCA=∠OCB，$

所以$∠α= 180°-(∠OBC+∠OCB)$

$=180°-\frac {1}{2}(∠ABC+∠ACB)。$①

因为$BP，CP $分别是$\triangle ABC$的外角平

分线，

所以$∠PBC+∠PCB$

$=\frac {1}{2}[360°-(∠ABC+∠ACB)]$

$=180°-\frac {1}{2}(∠ABC+∠ACB)，$

所以$∠β= 180°-(∠PBC+∠PCB)$

$=180°-180°+\frac {1}{2}(∠ABC+∠ACB)$

$=\frac {1}{2}(∠ABC+∠ACB)，$②

① + ②，得$∠α+∠β= 180°，$

所以∠α与∠β互补。

解：$ (1)∠BOC = 120°+\frac {1}{3}α。$

理由：$∠BOC = 180°-(∠OBC+∠OCB)$

$=180°-\frac {1}{3}(∠ABC+∠ACB)$

$=180°-\frac {1}{3}(180°-∠A)$

$=120°+\frac {1}{3}α$

$ (2)∠BOC = 180°-(∠OBC+∠OCB)$

$=180°-\frac {1}{n}(∠DBC+∠ECB)$

$=180°-\frac {1}{n}(180°+∠A)$

$=\frac {n - 1}{n}·180°-\frac {α}{n}$

$45$

$3$

$-4$

解：$(2)$因为$ CF $平分$∠ECB，$

所以$∠ECF= \frac {1}{2}∠ECB.$

因为$∠E+∠EAF=∠AFC+∠ECF， $

所以$∠EAF=∠AFC+\frac {1}{2}∠ECB−45°，$

同理可得$∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，$

所以$45°+2∠EAF=90°+∠ECB，$

所以$∠EAF=\frac {45°+∠ECB}{2}，$

所以$\frac {45°+∠ECB}{2}=∠AFC+\frac {1}{2}∠ECB−45°，$

化简消去$∠ECB$得$∠AFC=67.5°.$

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