第152页 - 经纶学典学霸七年级数学上下册【江苏国标】

$\frac{180^{\circ}}{n}+\frac{(n - 1)\alpha}{n}$

解：$(1) $因为$ BO_{1}，CO_{1} $分别平分$ ∠ABC，$

$∠ACB ，$

所以$ ∠ABC = 2∠O_{1}BC ，$$ ∠ACB = 2∠O_{1}CB ，$

所以$ 2(∠O_{1}BC+∠O_{1}CB)=∠ABC+∠ACB 。$

因为$ ∠A=α，$

所以$ ∠ABC+∠ACB = 180°-α，$

所以$ ∠BO_{1}C = 180°-(∠O_{1}BC+∠O_{1}CB)$

$=180°-\frac {1}{2}(180°-α)=90°+\frac {1}{2}α。$

$(2) $因为$ ∠ABC，∠ACB $的两条三等分线分别对应

交于$ O_{1}，O_{2} ，$

所以$ ∠O_{2}BC=\frac {2}{3}∠ABC ，$$ ∠O_{2}CB=\frac {2}{3}∠ACB ，$

所以$ ∠O_{2}BC+∠O_{2}CB=\frac {2}{3}∠ABC+\frac {2}{3}∠ACB$

$=\frac {2}{3}(∠ABC+∠ACB)=\frac {2}{3}(180°-α) ，$

所以$ ∠BO_{2}C = 180°-(∠O_{2}BC+∠O_{2}CB)$

$=180°-\frac {2}{3}(180°-α)=60°+\frac {2}{3}α。$

解：$ ∠BEC = 90°-\frac {1}{2}∠A。$

理由如下：

因为$∠CBD+∠ABC=∠A+∠ACB+∠ABC，$

所以$∠CBD=∠A+∠ACB。$

因为$BE$平分$∠CBD，$

所以$∠EBC=\frac {1}{2}∠CBD=\frac {1}{2}(∠A+∠ACB)。$

同理，$∠ECB=\frac {1}{2}(∠A+∠ABC)。$

所以$∠BEC = 180°-∠EBC-∠ECB $

$= 180°-\frac {1}{2}(∠A+∠ACB)-\frac {1}{2}(∠A+∠ABC)$

$=180°-\frac {1}{2}∠A-\frac {1}{2}(∠A+∠ABC+∠ACB)$

$=90°-\frac {1}{2}∠A。$

$\frac{1}{3^n}m$

$157.5^{\circ}-\frac{1}{8}\alpha$

解：$ (1)OC\perp OD。$

理由如下：因为三角形的三条角平分线交于点$O，$

所以$∠AOB = 180°-\frac {1}{2}(∠BAC+∠ABC)$

$=180°-\frac {1}{2}(180°-∠ACB)=90°+\frac {1}{2}∠ACB。$

因为$∠AOB=∠ODB=∠COD+∠OCD，$

所以$90°+\frac {1}{2}∠ACB=∠COD+∠OCD。$

又因为$∠OCD=\frac {1}{2}∠ACB，$

所以$∠COD = 90°。$

所以$OC\perp OD。$

$ (2)$因为$CF $平分$∠ACE，$$CO$平分$∠ACB，$

所以$∠ACO=\frac {1}{2}∠ACB，$$∠ACF=\frac {1}{2}∠ACE。$

所以$∠ACO+∠FCA=\frac {1}{2}(∠ACB+∠ACE)$

$=\frac {1}{2}×180°=90°，$即$∠FCO = 90°。$

因为$∠COD = 90°，$

所以$∠FCO=∠COD。$

所以$CF// OD。$