证明：如果$a，$$b$不都能被$3$整除，那么
有如下两种情况：
$ ①a，$$b$两数中恰有一个能被$3$整除，
不妨设$a$能被$3$整除，$b$不能被$3$整除，
令$a = 3m，$$b = 3n\pm k_{1}(m，$$n$都是整数，$k_{1}$取
$1$或$2)，$于是$a^2+b^2=9\ \mathrm {m^2}+9n^2\pm 6k_{1}n + k_{1}^2$
$=3(3\ \mathrm {m^2}+3n^2\pm 2k_{1}n)+k_{1}^2。$
∵$k_{1}$取$1$或$2，$
∴不能被$3$整除，与已知矛盾。
$ ②a，$$b$两数都不能被$3$整除，
令$a = 3m\pm k_{2}，$$b = 3n\pm k_{3}(m，$$n$都是整数，
$k_{2}，$$k_{3}$取$1$或$2)，$则
$a^2+b^2=(3m\pm k_{2})^2+(3n\pm k_{3})^2$
$=9\ \mathrm {m^2}\pm 6k_{2}m + k_{2}^2+9n^2\pm 6k_{3}n + k_{3}^2$
$=3(3\ \mathrm {m^2}\pm 2k_{2}m + 3n^2\pm 2k_{3}n)+k_{2}^2+k_{3}^2。$
∵$k_{2}，$$k_{3}$取$1$或$2，$
∴$k_{2}^2+k_{3}^2$的值为$2$或$5$或$8，$
∴不能被$3$整除，与已知矛盾。
综上可知，$a，$$b$都能被$3$整除。
