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解：$(1)$∵所经过的路线正好构成

一个外角是$30°$的正多边形，

∴正多边形的边数为$360°\div 30°=12，$

$ 12×10 = 120($米$)。$

∴小明一共走了$120$米。

$ (2) $根据题意得：

这个多边形的内角和是$(12 - 2)×180°=1800°。$

A

A

50°

5

180

14

540°或360°或180°

7或8或9

360

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