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解：$ (1)$如图$①，$由三角形外角的性质，得

$∠α=∠1+∠D，$$∠β=∠4+∠F，$

所以$∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F。$

$ $又$∠1=∠2，$$∠3=∠4，$$∠2+∠3 = 90°，$

所以$∠α+∠β=∠2+∠D+∠3+∠F$

$=∠2+∠3+30°+90°=210°。$

$ (2)$如图$②，$由三角形的外角性质，得

$∠1=∠A+∠C，$$∠2=∠B+∠D，$

因为$∠BOF = 120°，$

所以$∠3=180°-120°=60°。$

由三角形内角和定理，得

$∠E+∠1=180°-60°=120°，$

$∠F+∠2=180°-60°=120°，$

所以$∠1+∠2+∠E+∠F=120°+120°=240°，$

即$∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°。$

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$\angle BCD = 2\angle BAD$

$2\angle BAD+\angle BCD = 360^{\circ}$

解：$(3)$如图$③$所示，

设$AB，$$CD$交于点$E，$

在$△BCE$中，$∠BED=∠B+ ∠BCD，$

在$△ADE$中，$∠BED=∠BAD+∠D$

∴$∠B+∠BCD=∠BAD+∠D.$

∵$∠B=∠BAC，$$∠D=∠DAC，$

∴$∠BCD=∠BAD+∠D−∠B$

$=∠BAD+(∠DAC−∠BAC)，$

∵$∠DAC−∠BAC=∠BAD，$

∴$∠BCD=∠BAD+∠BAD$

∴$∠BCD=2∠BAD.$

$(4)∠BPD$的度数为$75°，$$165°，$$15°。$

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