解：$(2)$设$∠BAG = x。$
∵$AE\perp AB，$
∴$∠EAG = 90°-∠BAG = 90°-x。$
∵$AG $平分$∠EAM，$
∴$∠EAM = 2∠EAG = 180°-2x，$
∴$∠BAM = 90°-∠EAM = 2x - 90°。$
∵$MN// PQ，$$AB// CD，$
∴$∠ABQ=∠BAM，$$∠CDQ=∠ABQ，$
∴$∠CDQ=∠BAM = 2x - 90°。$
∵$CD\perp DF，$
∴$∠FDQ = 90°+∠CDQ = 2x，$
∴$2∠BAG=∠FDQ。$
$ (3)∠HBD+∠AHB+∠BAH = 240°$或
$∠AHB+∠BAH-∠HBD = 120°。$
理由如下：
如图①，当点$H$在点$K$上方时，过点$H$
作$HT// MN，$则$HT// MN// PQ，$
∴$∠1=∠HBD，$$∠MAB=∠ABD = 60°，$
$∠AHT+∠HAM = 180°，$
∴$∠HBD+∠AHB+∠HAM = 180°，$
∴$∠HBD+∠AHB+∠HAM+∠MAB = 240°，$
即$∠HBD+∠AHB+∠BAH = 240°；$
如图②，当点$H$在点$C，$$K$之间时，过点$H$作
$HT// MN，$则$HT// MN// PQ，$
∴$∠HBD=∠THB，$$∠THA=∠HAC，$
$∠BAC = 180°-∠ABD = 120°，$
∴$∠HBD=∠THA+∠AHB=∠AHB+∠HAC$
∴$∠HBD=∠AHB+∠BAH-∠BAC，$
∴$∠AHB+∠BAH-∠HBD=∠BAC，$
即$∠AHB+∠BAH-∠HBD = 120°；$
如图③，当点$H$在点$C，$$D$之间时，过点$H$作
$HT// MN，$则$HT// MN// PQ，$
∴$∠HAN=∠AHT，$$∠BHT=∠HBD，$
$∠BAC = 180°-∠ABD = 120°，$
∴$∠AHT = 120°-∠BAH，$
∴$∠AHB=∠AHT+∠BHT $
$= 120°-∠BAH+∠HBD，$
∴$∠AHB+∠BAH-∠HBD = 120°。$
当点$H$在点$K$或点$C$处时，经检验，符合
$∠AHB+∠BAH-∠HBD = 120°。$
综上所述，满足条件的关系是
$∠HBD+∠AHB+∠BAH = 240°$或
$∠AHB+∠BAH-∠HBD = 120°。$
