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解:​$ (1)$​设参加此次研学活动的老师有​$x$​人,学生
有​$y$​人,
依题意,得
​$\begin {cases}14x + 10 = y \\15x-6 = y\end {cases},$​解得:​$\begin {cases}{x=16}\\{y=234}\end {cases}$​
答:参加此次研学活动的老师有​$16$​人,学生有
​$234$​人。
​$(3)$​设租甲型客车​$m $​辆,则租乙型客车​$(8 - m)$​辆,
依题意,得
​$\begin {cases}35m + 30(8 - m)\geq 234 + 16 \\400m + 320(8 - m)\leq 3000\end {cases}$​
解得:​$2\leq m\leq 5.5$​
因为​$m $​为正整数,
所以​$m = 2,3,4,5,$​
所以共有​$4$​种租车方案。
设租车总费用为​$w$​元,则
​$w = 400m + 320(8 - m)=80m + 2560。$​
方案一:当​$m = 2$​时,​$w = 80×2 + 2560 = 2720($​元​$)。$​
方案二:当​$m = 3$​时,​$w = 80×3 + 2560 = 2800($​元​$)。$​
方案三:当​$m = 4$​时,​$w = 80×4 + 2560 = 2880($​元​$)。$​
方案四:当​$m = 5$​时,​$w = 80×5 + 2560 = 2960($​元​$)。$​
所以当​$m = 2$​时,​$w$​取得最小值,最小值为​$2720$​元。
所以学校共有​$4$​种租车方案,最少租车费用是​$2720$​元。
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解:​$(2)$​设制作无盖的横式箱子​$x$​个,则制作无盖
的竖式箱子​$(50 - x)$​个,
根据题意有​$ \begin {cases}2x+(50 - x)\leq 70 \\3x + 4(50 - x)\leq 182\end {cases} $​
解得​$18\leq x\leq 20。$​
因为​$x$​为非负整数,
所以​$x = 18$​或​$19$​或​$20,$​
所以有以下三种制作方案: 
​$①$​制作无盖的横式箱子​$18$​个,制作无盖的竖式箱
子​$50 - 18 = 32$​个; 
​$②$​制作无盖的横式箱子​$19$​个,制作无盖的竖式箱
子​$50 - 19 = 31$​个; 
​$③$​制作无盖的横式箱子​$20$​个,制作无盖的竖式箱
子​$50 - 20 = 30$​个。
​$ (3)$​设制作无盖的横式箱子​$a$​个,制作无盖的竖式
箱子​$b$​个,
根据题意得​$\begin {cases}2a + b = 100 \\3a + 4b = m\end {cases}$​
​$ $​由​$2a + b = 100$​可得​$b = 100 - 2a,$​
​$ $​因为​$220<m<232,$​
所以​$220<3a + 4(100 - 2a)<232$​
解得:​$33.6<a<36$​
因为​$a$​为非负整数,
所以​$a = 34$​或​$35。$​
​$ $​当​$a = 34$​时,​$b = 100 - 2×34 = 32,$​则
​$m = 3×34 + 4×32 = 230($​张​$);$​
​$ $​当​$a = 35$​时,​$b = 100 - 2×35 = 30,$​则
​$m = 3×35 + 4×30 = 225($​张​$);$​
​$ $​所以​$m $​所有可能的取值为​$225$​或​$230。$​