解:$(2)$设制作无盖的横式箱子$x$个,则制作无盖
的竖式箱子$(50 - x)$个,
根据题意有$ \begin {cases}2x+(50 - x)\leq 70 \\3x + 4(50 - x)\leq 182\end {cases} $
解得$18\leq x\leq 20。$
因为$x$为非负整数,
所以$x = 18$或$19$或$20,$
所以有以下三种制作方案:
$①$制作无盖的横式箱子$18$个,制作无盖的竖式箱
子$50 - 18 = 32$个;
$②$制作无盖的横式箱子$19$个,制作无盖的竖式箱
子$50 - 19 = 31$个;
$③$制作无盖的横式箱子$20$个,制作无盖的竖式箱
子$50 - 20 = 30$个。
$ (3)$设制作无盖的横式箱子$a$个,制作无盖的竖式
箱子$b$个,
根据题意得$\begin {cases}2a + b = 100 \\3a + 4b = m\end {cases}$
$ $由$2a + b = 100$可得$b = 100 - 2a,$
$ $因为$220<m<232,$
所以$220<3a + 4(100 - 2a)<232$
解得:$33.6<a<36$
因为$a$为非负整数,
所以$a = 34$或$35。$
$ $当$a = 34$时,$b = 100 - 2×34 = 32,$则
$m = 3×34 + 4×32 = 230($张$);$
$ $当$a = 35$时,$b = 100 - 2×35 = 30,$则
$m = 3×35 + 4×30 = 225($张$);$
$ $所以$m $所有可能的取值为$225$或$230。$