第45页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专版

C

$40$

$20^{\circ}$

$\sqrt{2}$

证明：$(1)$因为$\overset {\frown }{AC}=\overset {\frown }{AC}，$根据同弧所对的圆周角相等，

所以$∠B=∠E。$

$ $又因为$∠B=∠D，$所以$∠E=∠D。$

$ $因为$CE// AD，$所以$∠D+∠ECD = 180°，$

所以$∠E+∠ECD = 180°，$根据同旁内角互补，两直线平行，

所以$AE// CD。$

$ $所以四边形$AECD$为平行四边形。

$ (2)$连接$OE、$$OB。$

$ $因为四边形$AECD$为平行四边形，所以$AD = EC。$

$ $又因为$AD = BC，$所以$EC = BC。$

$ $又因为$OC = OC，$$OE = OB，$

所以在$\triangle COE$和$\triangle COB$中，

$ \begin {cases}EC = BC\\OC = OC\\OE = OB\end {cases}$

$ $根据$SSS($边边边$)$判定定理，可得$\triangle COE\cong \triangle COB，$

所以$∠OCE=∠OCB，$即$CO$平分$∠BCE。$

解：$(1)$如图，设$AC、$$BD$交于点$E。$

$ $因为$AC\perp BD，$

所以$∠AED = 90°。$

$ $因为$BC// AD，$

所以$∠DBC=∠ADB。$

$ $因为$\overset {\frown }{CD}=\overset {\frown }{CD}，$根据同弧所对的圆周角相等，

所以$∠DBC=∠DAC，$

所以$∠ADB=∠DAC。$

$ $在$Rt\triangle AED$中，$∠ADB=∠DAC = 45°。$

$ $因为$OA = OD，$所以$∠OAD=∠ODA。$

$ $在$\triangle OAD$中，$∠AOD = 120°，$

根据三角形内角和为$180°，$可得$∠OAD=\frac {180°-∠AOD}{2}=\frac {180°-120°}{2}=30°，$

所以$∠CAO=∠DAC-∠OAD = 45°-30°=15°。$

$(2)$如图，连接$OB、$$OC，$过点$O$作$OH\perp AD，$垂足为$H。$

$ $因为$OA = OD，$$OH\perp AD，$根据等腰三角形三线合一，

所以$AH=\frac {1}{2}AD=\frac {\sqrt {3}}{2}。$

$ $在$Rt\triangle OHA$中，$∠OAH = 30°，$所以$OH=\frac {1}{2}OA。$

$ $在$Rt\triangle OHA$中，由勾股定理$OH^2+AH^2=OA^2，$即$(\frac {1}{2}OA)^2+(\frac {\sqrt {3}}{2})^2=OA^2，$

$ $设$OA=x，$则$\frac {1}{4}x^2+\frac {3}{4}=x^2，$

$ \frac {3}{4}=x^2-\frac {1}{4}x^2，$

$ \frac {3}{4}=\frac {3}{4}x^2，$

$ $解得$x = 1($负值舍去$)，$所以$OA = 1。$

$ $因为$\overset {\frown }{CD}=\overset {\frown }{CD}，$

所以$∠COD = 2∠DAC = 90°。$

同理，得$∠AOB = 90°。$

$ $因为$∠AOD = 120°，$

所以$∠BOC=360°-90°-90°-120°=60°。$

$ $因为$OB = OC，$

所以$\triangle OBC$是等边三角形，所以$BC = OB。$

$ $因为$OB = OA = 1，$

所以$BC = 1。$