证明:$(1)$因为$AE = CE,$根据等边对等角,
所以$∠A=∠C。$
$ $因为$\overset {\frown }{AD}=\overset {\frown }{AD},$根据同弧所对的圆周角相等,
所以$∠C = ∠EBD。$
$ $所以$∠A=∠EBD,$根据同位角相等,两直线平行,
所以$AC// BD。$
$(2)$连接$OD、$$OB。$
$ $因为$\overset {\frown }{BC}=\overset {\frown }{BC},$根据同弧所对的圆周角相等,
所以$∠EDB=∠A。$
$ $由$(1)$知,$∠EBD=∠C,$$∠A = ∠C,$
所以$∠EDB=∠EBD,$根据等角对等边,
所以$EB = ED。$
$ $又因为$OE = OE,$$OB = OD,$
所以在$\triangle BOE$和$\triangle DOE$中,
$ \begin {cases}EB = ED\\OE = OE\\OB = OD\end {cases}$
$ $根据$SSS($边边边$)$判定定理,可得$\triangle BOE\cong \triangle DOE,$
所以$∠BEF=∠DEF。$