解：如图$.$设$BE = t.$
∵$EF = 10，$
∴$OE = OG = OH = 5.$
∵$∠GOH = 90°，$
∴$∠AOG+∠BOH = 90°.$
∵在矩形$ABCD$中，$∠DAB=∠ABC = 90°，$
∴$∠AGO+∠AOG = 90°，$
∴$∠AGO=∠BOH.$
在$\triangle GAO$和$\triangle OBH$中，
$\begin {cases}∠GAO=∠OBH = 90°，\\∠AGO=∠BOH，\\OG = HO，\end {cases} $
∴$\triangle GAO\cong \triangle OBH，$
∴$GA = OB = BE - OE=t - 5.$
∵$AB = 7，$
∴$AE = BE - AB=t - 7，$
∴$AO = OE - AE = 5-(t - 7)=12 - t.$
在$\text{Rt}\triangle GAO$中，由勾股定理，得$AG^2+AO^2=OG^2，$
∴$(t - 5)^2+(12 - t)^2=5^2，$
即$t^2-17t + 72 = 0，$
解得$t_{1}=8，$$t_{2}=9，$
∴$BE$的长为$8$或$9$
