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C

B

$6\sqrt{3}$

证明：∵$OB = OC，$

∴$∠B = ∠C.$

∵$∠AOC$是$\triangle OBC$的外角，

∴$∠AOC=∠B+∠C，$

∴$∠AOC = 2∠B.$

∵$OD$平分$∠AOC，$

∴$∠AOC = 2∠AOD，$

∴$∠B=∠AOD，$

∴$OD// BC$

证明：$(1)$由题意，得$OM = ON，$$OC = OD，$

∴$OC - OM = OD - ON，$即$CM = DN $

$(2)$猜想：$AM = BN $

证明：如图，连接$OA、$$OB，$过点$O$作$AB$的垂线，垂足为$H.$

∵$\triangle OMN$与$\triangle OAB$都是等腰三角形，

∴$MH = NH，$$AH = BH，$

∴$AH - MH = BH - NH，$即$AM = BN$

C

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