解：$(1)$当$t = 4$时，$l=\frac {1}{2}t^2+\frac {3}{2}t=\frac {1}{2}×4^2+\frac {3}{2}×4=8 + 6 = 14，$
所以甲运动$4\ \mathrm {s} $的路程是$14\ \mathrm {cm}。$
$(2)$由题图，可知甲、乙从开始运动到第一次相遇，运动的路程和为$21\ \mathrm {cm}，$
则$\frac {1}{2}t^2+\frac {3}{2}t+4t=21，$
$ $整理得$t^2+3t + 8t - 42 = 0，$即$t^2+11t - 42 = 0，$
$ $分解因式得$(t - 3)(t + 14)=0，$
$ $解得$t_{1}=3，$$t_{2}=-14($不合题意，舍去）。
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇，它们运动了$3\ \mathrm {s}。$
$(3)$由题图，可知甲、乙从开始运动到第二次相遇，运动的路程和为三个半圆弧的长，
即$21×3 = 63\ \mathrm {cm}，$则$\frac {1}{2}t^2+\frac {3}{2}t+4t=63，$
$ $整理得$t^2+3t + 8t - 126 = 0，$即$t^2+11t - 126 = 0，$
$ $分解因式得$(t - 7)(t + 18)=0，$
$ $解得$t_{1}=7，$$t_{2}=-18($不合题意，舍去）。
答：甲、乙从开始运动到第二次相遇，它们运动了$7\ \mathrm {s}。$
