解$：(2)①$当$7$为底边长时，方程$x^2-2(m + 1)x +\mathrm {m^2}+5 = 0$有两个相等的实数根，
$ $所以$b^2-4ac=[-2(m + 1)]^2-4(\mathrm {m^2}+5)=4(\mathrm {m^2}+2m + 1)-4\ \mathrm {m^2}-20=4\ \mathrm {m^2}+8m + 4 - 4\ \mathrm {m^2}-20=8m - 16 = 0，$
$ $解得$m = 2，$
$ $方程变为$x^2-6x + 9 = 0，$
$ $分解因式得$(x - 3)^2=0，$解得$x_{1}=x_{2}=3。$
$ $因为$3 + 3＜7，$不能构成三角形，所以$m = 2$不符合题意。
$ ②$当$7$为腰长时，将$x = 7$代入方程，得$49-14(m + 1)+\mathrm {m^2}+5 = 0，$
$ 49-14m - 14+\mathrm {m^2}+5 = 0，$
$\mathrm {m^2}-14m + 40 = 0，$
$ $分解因式得$(m - 4)(m - 10)=0，$
$ $解得$m_{1}=10，$$m_{2}=4。$
$ $当$m = 10$时，方程变为$x^2-22x + 105 = 0，$
$ $分解因式得$(x - 7)(x - 15)=0，$解得$x_{1}=7，$$x_{2}=15。$
$ $因为$7 + 7＜15，$不能构成三角形，所以$m = 10$不符合题意。
$ $当$m = 4$时，方程变为$x^2-10x + 21 = 0，$
$ $分解因式得$(x - 3)(x - 7)=0，$解得$x_{1}=7，$$x_{2}=3，$
$ $此时三角形的周长为$7 + 7 + 3 = 17。$
综上所述，这个三角形的周长为$17。$
