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解:根据题意,对于一元二次方程$x^{2}-2x + p - 1 = 0,$$\Delta=(-2)^{2}-4(p - 1)\geqslant0,$
即$4 - 4p + 4\geqslant0,$
化简得$8 - 4p\geqslant0,$
移项得$4p\leqslant8,$
解得$p\leqslant2。$
由韦达定理得$a + b = 2,$$ab = p - 1\geqslant0,$解得$p\geqslant1,$所以$1\leqslant p\leqslant2。$
因为$(a - 1)(b - 1)=ab - a - b + 1=ab-(a + b)+1,$
将$a + b = 2,$$ab = p - 1$代入得$(a - 1)(b - 1)=p - 1 - 2 + 1=p - 2。$
当$p = 1$时,$(a - 1)(b - 1)$取得最小值,最小值为$1 - 2=-1;$
当$p = 2$时,$(a - 1)(b - 1)$取得最大值,最大值为$2 - 2 = 0。$
解:(1)对于方程$x^{2}-2x + m - 2 = 0,$其中$a = 1,$$b = - 2,$$c = m - 2。$
根据根的判别式$∆=b^{2}-4ac,$可得$∆=(-2)^{2}-4×1×(m - 2)=4 - 4m + 8=12 - 4m。$
因为方程有两个实数根,
所以$∆\geqslant0,$即$12 - 4m\geqslant0,$
移项得$4m\leqslant12,$
解得$m\leqslant3。$
(2)由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=2,$$x_{1}x_{2}=m - 2。$
所以$3x_{1}+3x_{2}-x_{1}x_{2}=3(x_{1}+x_{2})-x_{1}x_{2}=3×2-(m - 2)=6 - m + 2=-m + 8。$
因为$m\leqslant3,$
所以当$m = 3$时,$-m + 8$取得最小值,最小值为$-3 + 8 = 5。$
解:​$(1)$​对于方程​$x^2-(m + 2)x + m - 1 = 0,$​其中​$a = 1,$​​$b = -(m + 2),$​​$c = m - 1。$​
​$ ∆=b^2-4ac=[-(m + 2)]^2-4×1×(m - 1)=\mathrm {m^2}+4m + 4 - 4m + 4=\mathrm {m^2}+8。$​
​$ $​因为​$\mathrm {m^2}\geqslant 0,$​
所以​$\mathrm {m^2}+8>0,$​即​$∆>0,$​
​$ $​所以无论​$m{取何值},$​方程都有两个不相等的实数根。
​$(2)$​因为方程​$x^2-(m + 2)x + m - 1 = 0$​的两个实数根为​$x_{1}、$​​$x_{2},$​
​$ $​由韦达定理得​$x_{1}+x_{2}=m + 2,$​​$x_{1}x_{2}=m - 1。$​
​$ $​因为​$x_{1}^2+x_{2}^2-x_{1}x_{2}=9,$​
根据完全平方公式​$x_{1}^2+x_{2}^2=(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2},$​
​$ $​所以​$(x_{1}+x_{2})^2-3x_{1}x_{2}=9,$​
​$ $​将​$x_{1}+x_{2}=m + 2,$​​$x_{1}x_{2}=m - 1$​代入得​$(m + 2)^2-3(m - 1)=9,$​
​$ $​展开得​$\mathrm {m^2}+4m + 4 - 3m + 3 = 9,$​
​$ $​整理得​$\mathrm {m^2}+m - 2 = 0,$​
​$ $​因式分解得​$(m + 2)(m - 1)=0,$​
​$ $​则​$m + 2 = 0$​或​$m - 1 = 0,$​
​$ $​解得​$m_{1}=-2,$​​$m_{2}=1。$​
​$ $​所以​$m $​的值为​$-2$​或​$1。$​
解:​$(1)①$​当​$k - 1 = 0,$​即​$k = 1$​时,方程为一元一次方程​$2x + 2 = 0,$​
​$ $​移项得​$2x=-2,$​解得​$x=-1。$​所以当​$k = 1$​时,原方程有一个实数根。
​$ ②$​当​$k - 1\neq 0,$​即​$k\neq 1$​时,方程为一元二次方程。
​$ $​对于方程​$(k - 1)x^2+2kx + 2 = 0,$​其中​$a = k - 1,$​​$b = 2k,$​​$c = 2。$​
​$ ∆=b^2-4ac=(2k)^2-4×2×(k - 1)=4k^2-8k + 8=4(k^2-2k + 2)=4[(k - 1)^2+1]。$​
​$ $​因为​$(k - 1)^2\geqslant 0,$​
所以​$(k - 1)^2+1>0,$​则​$4[(k - 1)^2+1]>0,$​即​$∆>0,$​方程有两个不相等的实数根。
综上所述,无论​$k$​为何值,方程总有实数根。
​$(2)$​能。因为​$x_{1}、$​​$x_{2}$​是方程​$(k - 1)x^2+2kx + 2 = 0$​的两个实数根,
​$ $​由韦达定理得​$x_{1}+x_{2}=\frac {-2k}{k - 1},$​​$x_{1}x_{2}=\frac {2}{k - 1}。$​
​$ $​令​$S = x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2}) = 1,$​
​$ $​则​$\frac {2}{k - 1}+\frac {2k}{k - 1}=1,$​
​$ $​方程两边同乘​$k - 1$​得​$2 + 2k = k - 1,$​
​$ $​移项得​$2k - k=-1 - 2,$​
​$ $​解得​$k=-3。$​
经检验,当​$k = - 3$​时,​$k - 1=-3 - 1=-4\neq 0,$​
所以​$k = - 3$​是分式方程的解,且符合题意。
​$ $​所以​$k$​的值为​$-3。$​