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 解：(1)对于一元二次方程$x^{2}+2x + 3 - k = 0，$其中$a = 1，$$b = 2，$$c = 3 - k。$

 根据根的判别式$\Delta=b^{2}-4ac，$可得$\Delta = 2^{2}-4\times1\times(3 - k)=4 - 12 + 4k=-8 + 4k。$

 因为原方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0，$即$-8 + 4k＞0，$

 移项可得$4k＞8，$解得$k＞2。$

 (2)因为方程的两个实数根分别为$\alpha$、$\beta，$由韦达定理可知$\alpha\beta = 3 - k。$

 又因为$k^{2}=\alpha\beta + 3k，$所以$k^{2}=3 - k + 3k，$

 整理得$k^{2}-2k - 3 = 0，$

 因式分解得$(k - 3)(k + 1)=0，$

 则$k - 3 = 0$或$k + 1 = 0，$

 解得$k_{1}=3，$$k_{2}=-1。$

 因为$k＞2，$所以$k = - 1$不合题意，舍去。

 所以$k$的值为$3。$

 解：因为关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2mx + m^{2}-4m - 1 = 0$有两个实数根$x_{1}$、$x_{2}，$

 所以$\Delta=b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4\times1\times(m^{2}-4m - 1)\geqslant0，$

 即$4m^{2}-4m^{2}+16m + 4\geqslant0，$

 化简得$16m+4\geqslant0，$

 移项得$16m\geqslant - 4，$

 解得$m\geqslant-\frac{1}{4}。$

 由韦达定理得$x_{1}x_{2}=m^{2}-4m - 1，$$x_{1}+x_{2}=2m。$

 因为$(x_{1}+2)(x_{2}+2)-2x_{1}x_{2}=17，$

 展开得$x_{1}x_{2}+2x_{1}+2x_{2}+4 - 2x_{1}x_{2}=17，$

 即$2(x_{1}+x_{2})-x_{1}x_{2}=13，$

 将$x_{1}x_{2}=m^{2}-4m - 1，$$x_{1}+x_{2}=2m$代入得$4m-(m^{2}-4m - 1)=13，$

 去括号得$4m - m^{2}+4m + 1 = 13，$

 整理得$m^{2}-8m + 12 = 0，$

 因式分解得$(m - 2)(m - 6)=0，$

 则$m - 2 = 0$或$m - 6 = 0，$

 解得$m_{1}=2，$$m_{2}=6。$

 因为$m\geqslant-\frac{1}{4}，$

所以满足题意的$m$的值为$2$或$6。$