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$15x\times\frac{20 - 2x}{2}=360$

解：(1)设经过$x$s，$\triangle PBQ$的面积为$8$cm².

根据题意，可得$0\leq x\leq4.$

$∵AP = x$cm，$BQ = 2x$cm，$∴BP = AB - AP=(6 - x)$cm.

$∵S_{\triangle PBQ}=\frac{1}{2}BP·BQ，$$∴\frac{1}{2}(6 - x)·2x = 8，$

$6x - x^{2}=8，$

即$x^{2}-6x + 8 = 0，$

对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），
这里$a = 1，$$b = - 6，$$c = 8，$

根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，$

可得$x=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^{2}-4×1×8}}{2×1}=\frac{6\pm\sqrt{36 - 32}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{6\pm2}{2}，$

解得$x_{1}=\frac{6 + 2}{2}=4，$$x_{2}=\frac{6 - 2}{2}=2，$均符合题意.

答：经过2 s或4 s，$\triangle PBQ$的面积为8 cm².

$ (2)$不能$.$

理由：假设经过$y$s，$\triangle PBQ$的面积为$10$cm²，则$\frac{1}{2}(6 - y)·2y = 10.$

$6y - y^{2}=10，$

即$y^{2}-6y + 10 = 0.$

$∵b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×10=36 - 40=-4<0，$

∴该方程没有实数根，

∴$\triangle PBQ$的面积不能为10 cm².

解：设运动时间为$ts，$显然$0\leq t\leq 3.$

$(1)$过点$Q_{作}QE\perp AB$于点$E，$过点$A$作$AF\perp CD$于点$F.$

∵$AB// CD，$$∠C = 90°，$$AF\perp CD，$$QE\perp AB，$

∴易得四边形$AFCB$和四边形$AFQE$都为矩形$.$

∵$CD = 10\ \mathrm {cm}，$$AB = 6\ \mathrm {cm}，$∴$CF = 6\ \mathrm {cm}，$则$DF = 4\ \mathrm {cm}.$

∵$AD = 5\ \mathrm {cm}，$

∴在$Rt\triangle ADF_{中}，$根据勾股定理$AF=\sqrt {AD^2-DF^2}=\sqrt {5^2-4^2}=\sqrt {25 - 16}=3\ \mathrm {cm}，$

∴$EQ = AF = 3\ \mathrm {cm}.$

∵$AP = 2t\mathrm {cm}，$$CQ = t\mathrm {cm}，$

∴易得$PE=(6 - 3t)\mathrm {cm}_{或}PE=(3t - 6)\mathrm {cm}.$

$ $在$Rt\triangle PEQ_{中}，$∵$PE^2+EQ^2=PQ^2，$

∴$(6 - 3t)^2+3^2=5^2，$

$ 36-36t + 9t^2+9 = 25，$

$ 9t^2-36t + 20 = 0，$

$ $对于一元二次方程$ax^2+bx + c = 0(a\neq 0)，$这里$a = 9，$$b = - 36，$$c = 20，$

$ $根据求根公式$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}，$可得

$t=\frac {36\pm \sqrt {(-36)^2-4×9×20}}{2×9}=\frac {36\pm \sqrt {1296 - 720}}{18}=\frac {36\pm \sqrt {576}}{18}=\frac {36\pm 24}{18}，$

$ $解得$t_{1}=\frac {36 + 24}{18}=\frac {10}{3}，$$t_{2}=\frac {36 - 24}{18}=\frac {2}{3}，$

$ $因为$0\leq t\leq 3，$所以$t_{2}=\frac {2}{3}$符合题意，$t_{1}=\frac {10}{3}$不合题意，舍去.

答：经过$\frac {2}{3}s，$点$P、$$Q $之间的距离为$5\ \mathrm {cm}.$

$ (2)$不存在$.$

理由：假设存在某一时刻，使得$PD$恰好平分$∠APQ，$则$∠APD=∠DPQ.$

∵$AB// CD，$∴$∠APD=∠PDQ，$

∴$∠PDQ=∠DPQ，$∴$DQ = PQ.$

∵$PQ^2=[3^2+(6 - 3t)^2]\mathrm {cm}²，$$DQ^2=(10 - t)^2\ \mathrm {cm}²，$

∴$3^2+(6 - 3t)^2=(10 - t)^2，$

$ 9 + 36-36t + 9t^2=100-20t + t^2，$

$ 9t^2-t^2-36t + 20t+9 + 36 - 100 = 0，$

$ 8t^2-16t - 55 = 0，$

$ $对于一元二次方程$ax^2+bx + c = 0(a\neq 0)，$这里$a = 8，$$b = - 16，$$c = - 55，$

$ $根据求根公式$t=\frac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}=\frac {16\pm \sqrt {(-16)^2-4×8×(-55)}}{2×8}=\frac {16\pm \sqrt {256 + 1760}}{16}=\frac {16\pm \sqrt {2016}}{16}=\frac {16\pm 12\sqrt {14}}{16}=\frac {4\pm 3\sqrt {14}}{4}，$

∵$0\leq t\leq 3，$上述两解均不合题意，舍去，

∴不存在某一时刻，使得$PD$恰好平分$∠APQ.$