第19页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专版

解：对于方程$\frac{1}{2}x(x + 2)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}x，$

去括号得$\frac{1}{2}x^{2}+x=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}x，$

移项得$\frac{1}{2}x^{2}+x+\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}=0，$

整理得$2x^{2}+6x - 3 = 0，$

其中$a = 2，$$b = 6，$$c = -3，$

$∆=b^{2}-4ac=6^{2}-4×2×(-3)=36 + 24 = 60，$

由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$可得：

$x=\frac{-6\pm\sqrt{60}}{2×2}=\frac{-6\pm2\sqrt{15}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{15}}{2}，$

所以$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{15}}{2}，$$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}。$

解：对于方程$(5x - 1)(2x + 4)=3x + 6，$

去括号得$10x^{2}+20x - 2x - 4 = 3x + 6，$

移项得$10x^{2}+20x - 2x - 3x - 4 - 6 = 0，$

整理得$10x^{2}+15x - 10 = 0，$

两边同时除以$5$得$2x^{2}+3x - 2 = 0，$

因式分解得$(2x - 1)(x + 2)=0，$

所以$2x - 1 = 0$或$x + 2 = 0，$

解得$x_{1}=\frac{1}{2}，$$x_{2}=-2。$

解：对于方程$4(2x - 1)^{2}-9(x + 1)^{2}=0，$

利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)，$

则$[2(2x - 1)+3(x + 1)][2(2x - 1)-3(x + 1)]=0，$

即$(4x - 2 + 3x + 3)(4x - 2 - 3x - 3)=0，$

$(7x + 1)(x - 5)=0，$

所以$7x + 1 = 0$或$x - 5 = 0，$

解得$x_{1}=5，$$x_{2}=-\frac{1}{7}。$

解：对于方程$4(t - 5)^{2}+4(5 - t)+1=0，$

令$m = t - 5，$则原方程可化为$4m^{2}-4m + 1 = 0，$

因式分解得$(2m - 1)^{2}=0，$

所以$2m - 1 = 0，$

解得$m=\frac{1}{2}，$

即$t - 5=\frac{1}{2}，$

解得$t_{1}=t_{2}=\frac{11}{2}。$

解：根据题意，得$m\neq0，$且$b^{2}-4ac=[-(3m - 1)]^{2}-4m(2m - 1)=m^{2}-2m + 1 = 1，$

即$m^{2}-2m=0，$

因式分解得$m(m - 2)=0，$

解得$m_{1}=0$（不合题意，舍去），$m_{2}=2。$

所以$m = 2，$原方程为$2x^{2}-5x + 3 = 0，$

因式分解得$(2x - 3)(x - 1)=0，$

所以$2x - 3 = 0$或$x - 1 = 0，$

解得$x_{1}=\frac{3}{2}，$$x_{2}=1。$

解$：(1)$由方程$x^2-(2k + 3)x + k^2+3k + 2 = 0，$得$b^2-4ac=[-(2k + 3)]^2-4(k^2+3k + 2)=1＞0，$

所以无论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根。

利用求根公式解方程，得$x_{1}=k + 1，$$x_{2}=k + 2。$

$ $设$AB = k + 1，$$AC = k + 2。$因为第三边$BC$的长为$5，$

$ $所以当$\triangle ABC$是直角三角形时，分两种情况讨论：

$ ①$当$BC$是斜边时，有$AB^2+AC^2=BC^2，$即$(k + 1)^2+(k + 2)^2=5^2，$

$ $展开得$k^2+2k + 1 + k^2+4k + 4 = 25，$

$ $整理得$2k^2+6k - 20 = 0，$即$k^2+3k - 10 = 0，$

$ $因式分解得$(k - 2)(k + 5)=0，$

$ $解得$k_{1}=2，$$k_{2}=-5($不合题意，舍去）；

$ ②$当$AC$是斜边时，有$AB^2+BC^2=AC^2，$即$(k + 1)^2+5^2=(k + 2)^2，$

$ $展开得$k^2+2k + 1 + 25 = k^2+4k + 4，$

$ $移项得$2k = 22，$

$ $解得$k = 11。$

$ $所以当$k = 2$或$11$时，$\triangle ABC$是直角三角形。

$(2)$由$(1)，$不妨设$AB = k + 1，$$AC = k + 2。$因为$BC = 5，$

$ $所以当$\triangle ABC$是等腰三角形时，分两种情况讨论：

$ ①$当$AC = BC = 5$时，$k + 2 = 5，$所以$k = 3，$则$AB = 4，$此时$\triangle ABC$的周长为$4 + 5 + 5 = 14；$

$ ②$当$AB = BC = 5$时，$k + 1 = 5，$所以$k = 4，$则$AC = 6，$此时$\triangle ABC$的周长为$5 + 5 + 6 = 16。$

综上所述，当$k = 3$或$4$时，$\triangle ABC$是等腰三角形，$\triangle ABC$的周长分别是$14$或$16。$