第15页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专版

$-2$

解：$(1)$因为原方程有两个不相等的实数根，

所以$b^2 - 4ac = (-2k)^2 - 4×1×(k^2 - k + 1)=4k^2 - 4k^2 + 4k - 4 = 4k - 4＞0，$

解得$k＞1，$

所以$k$的取值范围是$k＞1。$

$(2)$因为$k＜5，$$k＞1，$

所以$1＜k＜5，$

所以整数$k$的值为$2、$$3、$$4。$

当$k = 2$时，方程为$x^2 - 4x + 3 = 0，$因式分解得$(x - 1)(x - 3)=0，$

解得$x_{1} = 1，$$x_{2} = 3；$

当$k = 3$或$4$时，此时方程的解不为整数，舍去。

综上所述，$k$的值为$2。$

解：$(1)$因为$b^2 - 4ac = (-4m)^2 - 4×1×3\ \mathrm {m^2} = 16\ \mathrm {m^2} - 12\ \mathrm {m^2} = 4\ \mathrm {m^2}\geq 0，$

所以该方程总有两个实数根。

$(2)$因为$x^2 - 4mx + 3\ \mathrm {m^2} = 0，$

由求根公式$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}$可得$x=\frac {4m\pm \sqrt {(-4m)^2 - 4×3\ \mathrm {m^2}}}{2}=\frac {4m\pm \sqrt {16\ \mathrm {m^2} - 12\ \mathrm {m^2}}}{2}=\frac {4m\pm \sqrt {4\ \mathrm {m^2}}}{2}。$

因为$m＞0，$

所以$x_{1} = m，$$x_{2} = 3m。$

由题意，得$3m - m = 2，$

$2m = 2，$

解得$m = 1。$

$ $解$：(1)\triangle ABC$是等腰三角形。理由：

把$x = -1$代入方程$(a + c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0，$得$(a + c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (a - c) = 0，$

即$a + c - 2b + a - c = 0，$$2a - 2b = 0，$

所以$a = b，$

所以$\triangle ABC$是等腰三角形。

$(2)\triangle ABC$是直角三角形。理由：

因为方程有两个相等的实数根，

所以$(2b)^2 - 4(a + c)(a - c) = 0，$

即$4b^2 - 4(a^2 - c^2) = 0，$$b^2 - a^2 + c^2 = 0，$

所以$b^2 + c^2 = a^2，$

所以$\triangle ABC$是直角三角形。

$(3)$因为$\triangle ABC$是等边三角形，

所以$a = b = c，$原方程变为$2ax^2 + 2ax = 0。$

因为$a\neq 0，$方程两边同时除以$2a$得$x^2 + x = 0，$因式分解得$x(x + 1)=0，$

所以$x = 0$或$x + 1 = 0，$

解得$x_{1} = 0，$$x_{2} = -1。$