解：$ (1)$设需甲种车型$x$辆，乙种车型$y$辆，
由题意得$\begin {cases}5x + 8y = 120\\400x + 500y = 8200\end {cases}$
解得：$\begin {cases}{x=8}\\{y=10}\end {cases}$
答：需甲种车型$8$辆，乙种车型$10$辆。
$ (2)$设需甲种车型$x$辆，乙种车型$y$辆，丙种车
型$z$辆，
由题意得$\begin {cases}x + y + z = 16①\\5x + 8y + 10z = 120②\end {cases}$
$ ①×10 - ②$得$5x + 2y = 40，$$x = 8-\frac {2}{5}y$
$ $因为$x，$$y$是非负整数，且不大于$16，$得
$y = 0，5，10，15，$
由$z$是非负整数，解得
$\begin {cases}x = 8\\y = 0\\z = 8\end {cases}$或$\begin {cases}x = 6\\y = 5\\z = 5\end {cases}$或$\begin {cases}x = 4\\y = 10\\z = 2\end {cases}$
有三种运送方案：
$①$甲种车型$8$辆，乙种车型$0$辆，丙种车型$8$辆；
$②$甲种车型$6$辆，乙种车型$5$辆，丙种车型$5$辆；
$③$甲种车型$4$辆，乙种车型$10$辆，丙种车型$2$辆。
$ (3)$三种方案的运费分别是：
$ ①400×8+500×0+600×8 = 8000($元$)；$
$ ②400×6+500×5+600×5 = 7900($元$)；$
$ ③400×4+500×10+600×2 = 7800($元$)。$
$ $因为$7800＜7900＜8000，$所以调用甲种车型$4$
辆，乙种车型$10$辆，丙种车型$2$辆时的运费最
省，最省运费是$7800$元。
