解:$ (1)$由题意可得
$\begin {cases}17(a + 0.8)+(20 - 17)(b + 0.8)=66\\17(a + 0.8)+(25 - 17)(b + 0.8)=91\end {cases}$
解得:$\begin {cases}{a = 2.2}\\{b = 4.2}\end {cases}$
答:$a$的值为$2.2,$$b$的值为$4.2。$
$ (2)$当用水$30$立方米时,需交水费
$17×2.2+13×4.2+30×0.8 = 116($元$)$
$ $因为$150>116,$所以$5$月份用水超过$30$立方米。
$ $设$5$月份用水$x$立方米,由题意得
$17×2.2+13×4.2+(x - 30)×6+0.8x = 150$
解得:$ x = 35$
答:他家$5$月份用水$35$立方米。