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$2:3:1$

$120$

解：$(1) $由题意得，矩阵$\begin {pmatrix}4&1&5\\3&-2&3\end {pmatrix}$对应的方

程组为$\begin {cases}4x + y = 5\\3x - 2y = 3\end {cases}，$解得$\begin {cases}x=\dfrac {13}{11}\\y =\dfrac {3}{11}\end {cases}，$

所以矩阵$\begin {pmatrix}4&1&5\\3&-2&3\end {pmatrix}$对应的方程组的解

为$\begin {cases}x=\dfrac {13}{11}\\y =\dfrac {3}{11}\end {cases}。$

$(2) $根据题意得$\begin {cases}x + y + tz = 3①\\2x - y + mz = 2②\end {cases}，$

$①×1+②$得$4x + y+(2t + m)z = 8。$

因为$4x + y - z$为定值，

所以$2t + m = - 1。$

$-4$

$105$

解：$(3)$设体育组所购买的体育用品

甲、乙、丙、丁的单价分别为$x$元，

$y$元，$z$元，$m $元。

根据题意，得

$\begin {cases}5x + 4y+3z + m = 1882\\9x + 7y+5z + m = 2764\end {cases}，$

该方程组可变形为

$\begin {cases}(x + y+z + m)+(4x + 3y+2z)=1882\\(x + y+z + m)+2(4x + 3y+2z)=2764\end {cases}，$

设$x + y+z + m = a，$$4x + 3y+2z = b，$

则上述方程组可化为$\begin {cases}a + b = 1882\\a + 2b = 2764\end {cases}，$

解得$a = 1000，$即$x + y+z + m = 1000。$

故购买每种体育用品各一件共需$1000$元。