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解：$ (1)$原式$=3×(3^3)^{m}\div (3^2)^{m}$

$ =3×3^{3m}\div 3^{2m}$

$=3^{1 + 3m-2m}$

$=3^{m + 1}$

$ $因为$3^{m + 1}=3^{16}，$

所以$m + 1 = 16，$即$m = 15$

$ (2)a^{3x-2y}=a^{3x}\div a^{2y}=(a^{x})^3\div (a^{y})^2$

$=(-2)^3\div 3^2=-\frac {8}{9}$

$ (3)$原式$=9(x^{2n})^3-4(x^{2n})^2$

$=9×4^3-4×4^2$

$= 512$

$a^{2}-b^{2}$

$ab - b^{2}$

$22$

解：$ (3)S_{1}+S_{2}=S_{3}$

理由如下：

依题意得$S_{3}=a^2-b[b-(a - b)]=a^2-b(2b - a)$

$=a^2-2b^2+ab$

因为$S_{1}+S_{2}=a^2-b^2+ab - b^2=a^2-2b^2+ab，$

所以$S_{1}+S_{2}=S_{3}。$