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第60页

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$\frac{17}{2} $

5

$证明:(1)连接BD、AC交于点O$

$∵AB//CD,AD//BC$

$∴四边形ABCD是平行四边形$

$∵四边形ABCD中$

$点 E、F、G、H分别是各边的中点$

$∴GF//BD,HG//AC$

$∵四边形EFGH是矩形， ∴HG⊥GF$

$∴BD⊥AC,∴ 四边形 ABCD是菱形$

$(2)∵四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是各边的中点$

$∴GF= EH=\frac{1}{2}BD,HG=EF=\frac{1}{2}AC$

$∵ 矩形 EFGH 的周长为22,∴BD+AC=22$

$∵四边形ABCD是菱形$

$∴\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}AC=OB+OA=11$

$∵四边形ABCD的面积为10$

$∴\frac{1}{2}BD×AC=10，即2OA×OB=10$

$∵(OA+OB)^{2}=OA^{2}+2OA×OB+OB^{2}=121$

$∴OA^{2}+OB^{2}=121-10=111$

$∴AB=\sqrt {OA^{2}+OB^{2}}= \sqrt{111}$

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