解：$(1)$要使点$ P $在$ x $轴上，$ m $应满足$ 2m-6=0$，$ $解得$ m=3$，
所以，$ $当$ m=3 $时，$ $点$ P $在$ x $轴上；
$(2)$要使点$ P $在第三象限，$ m $应满足
$\begin {cases}{-m+1<0}\\{2m-6<0}\end {cases}$，解得$ 1<m<3$，，
∴当$ 1<m<3 $时，点$ P $在第三象限；
$(3) $要使点$ P $到$ y $轴距离是$ 1$，$ m $应满足$ -m+1=1 $或$ -m+1=-1$，
解得$m=0 $或$2 $，
∴当$ m=0 $或$ 2 $时，$ $点$ P $到$ y $轴距离是$ 1 .$
