解：$(1)$当$m=4$时，$BC=4$
又∵$AB=6$，∴$AC=4+6=10$
又$M$为线段$AC$的中点，∴$AM=MC=5$
∴$BM=AB-AM=6-5=1$
$(2)$∵$AB=6$，$BC=m$，∴$AC=6+m$
∵$M$为线段$AC$的中点，∴$AM=MC=\frac {6+m}{2}$
①如图，当点$D$在线段$BC$上，点$M$在点$D$的左边时
$CD=n$，$DM=MC-CD=\frac {6+m}2-n=\frac {6+m-2n}{2}$
②如图，当点$D$在线段$BC$上，点$M$在点$D$的右边时
$CD=n$，$DM=CD-MC=n-\frac {6+m}2=\frac {2n-6-m}{2}$
③如图，当点$D$在$l$上且在点$C$的右侧时
$CD=n$，$DM=MC+CD=\frac {6+m}2 +n=\frac {6+m+2n}{2}$
