解：$(3)ts $后，$AP=2t$，$AQ=12-t(0≤t≤6)$
①由题意可知，点$A$不可能为以$P$，$Q $两点为端点的线段
的“巧点”，此情况排除
$②$当$P $为线段$AQ $的$“$巧点$”$时
$I$∵$AP=\frac {1}{3}AQ$
即$2t=\frac {1}{3}(12-t)$，解得$t=\frac {12}{7}$
$ II$∵$AP=\frac {1}{2}AQ$
即$2t=\frac {1}{2}(12-t)$，解得$t=\frac {12}{5}$
$ III$∵$AP=\frac {2}{3}AQ$
即$2t=\frac {2}{3}(12-t)$，解得$t=3$
$③$当$Q $为线段$AP $的$“$巧点$”$时
$I$∵$AQ=\frac {1}{3}AP$
即$12-t=2t×\frac {1}{3}$，解得$t=\frac {36}{5}($舍去$)$
$ II$∵$AQ=\frac {1}{2}AP$
即$12-t=2t×\frac {1}{2}$，解得$t=6$
$ III$∵$AQ=\frac {2}{3}AP$
即$12-t=2t×\frac {2}{3}$，解得$t=\frac {36}{7}$
综上，$t $为$\frac {12}{7}$，$\frac {12}{5}$，$3$，$6$或$\frac {36}{7}$时，点$A$，$P$，$Q $中的一点
恰好是以另外两点为端点的线段的“巧点”
