$解:∵AB⊥BC，$
$∴∠ABC=90°.$
$ 设OA=OC=x\ \mathrm {cm}，$
$∵BC=12\ \mathrm {cm},$
$ ∴BO=BC-OC=(12-x)\ \mathrm {cm}.$
$ 在Rt△ABO中,AB=6\ \mathrm {cm}，$
$∴AB²+OB²=OA²,$
$ ∴36+(12-x)²=x²，$
$解得x=7.5，$
$ ∴OA=OC=7.5\ \mathrm {cm}，$
$ ∴量角器的半径OC长为7.5\ \mathrm {cm}.$
