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证明: ∵ 四边形$ A B C D $是平行四边形,

∴$D C / / A B， D C=A B， $

∵$F C=A E， $

∴$C D-F C=A B-A E，$

$\text { 即 } D F=B E \text { ， }$

∴ 四边形$ D E B F $是平行四边形,

$\text { 又 } $∵$D E \perp A B， $

∴$∠D E B=90°，$

∴ 平行四边形$ D E B F $是矩形.

证明$：(1) $∵$A F / / B C ，$

∴$∠{AFE}=∠{DCE}， ∠{FAE}=∠{CDE} ，$

又$ ： E $为$ A D $的中点,

∴${AE}={DE} ，$

∴$\triangle {AEF} \cong \triangle {DEC}({AAS}) ，$

∴${AF}={DC} ，$

又 ∵$D $为$ B C $的中点,

∴${BD}={CD} ，$

∴$A F=B D ；$

$(2) $∵$A F=B D， A F / / B D ，$

∴ 四边形$ A D B F $是平行四边形,

∵$A B=A C， D $为$ B C $的中点,

∴$A D \perp B C ，$

∴$∠{ADB}=90° ，$

∴ 四边形$ADBF$是矩形.

解:四边形$ABCD$是菱形

所以$AB=BC=AD= CD，$$∠B+∠BAD=180°$

因为$∠B$与$ ∠BAD$的度数之比为$1 ：$$ 2$

所以$∠BAD=2∠B$

因为$∠B+∠BAD=180° $

所以$∠B=60°$

因为$AB=BC$

所以$△ABC$是等边三角形

所以$AC=AB$

因为菱形的周长为$20\ \mathrm {cm}$

所以$AC=AB=20÷4=5\ \mathrm {cm}$

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