第48页 - 苏科版八年级数学课课练答案（上下册）

证明$： (1)$因为$△OAD$是等腰三角形

所以$OA=AD，$$∠OAD=90°$

因为点$E$为矩形的对角线交点

所以点$E$是$BD$的中点

因为$OB=OD$

所以$OE⊥BD$

所以$∠OED=90°$

因为$∠OFA=∠DFE，∠OAD=∠DEF$

所以$∠FOA=∠FDE$

在$△OAF $和$△DAB$中

$\begin {cases}{∠FOA=∠FDE}\\{AO=AD} \\{∠OAF=∠DAB} \end {cases}$

所以$△OAF≌△DAB(\mathrm {ASA})$

$(2)$连接$BF$

因为$△OAF≌△DAB$

所以$AF= AB$

所以$△ABF$为等腰直角三角形

因为$OE$为线段$BD$的垂直平分线

所以$BF=DF$

所以$\frac {DF}{AF}=\frac {BF}{AF}=\sqrt {2}$

证明:因为$∠BAD=∠CAE$

所以$∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC$

所以$∠CAD=∠BAE$

在$△AEB$和$△ADC$中

$\begin {cases}{AE=AD }\\{∠BAE=∠CAD} \\{AB=AC} \end {cases}$

所以$△AEB≌△ADC(\mathrm {SAS})$

所以$BE=CD，$$ ∠BEA=∠CDA$

因为$DE=BC$

所以四边形$BCDE$是平行四边形

所以$∠BED+∠EDC= 180°$

因为$∠BEA=∠CDA，$$ ∠AED=∠ADE$

所以$∠BED=∠EDC$

所以$∠BED=∠EDC=90°$

所以平行四边形$BCDE$是矩形

解：$ (1)\ \mathrm {EO}=FO，$理由:

因为$MN//BC$

所以$∠OEC=∠BCE，$$ ∠OFC=∠GCF$

因为$CE$平分$∠BCO，$$CF $平分$∠GCO$

所以$∠OCE=∠BCE，$$∠OCF=∠GCF$

所以$∠OCE=∠OEC，$$ ∠OCF=∠OFC$

所以$EO=CO，$$FO=CO$

所以$EO=FO$

$(2)$当点$O$运动到$AC$的中点时，四边形$AECF$是矩形

因为当点$O$运动到$AC$的中点时，$AO=CO$

又因为$EO=FO$

所以四边形$AECF$是平行四边形

因为$FO=CO$

所以$AO=CO=EO=FO$

所以$AO+CO=EO+FO$

即$AC=EF$

所以四边形$AECF$是矩形