证明$：(1)$因为四边形$ABCD$是矩形
所以$∠A=∠ADC=∠B=∠C= 90°， AB= CD ，$
由折叠得$： AB= PD，∠A=∠P= 90°，$$∠B=∠PDF= 90° $
所以$PD= CD，$
因为$∠PDF=∠ADC$
所以$∠PDE=∠CDF ，$
在$△PDE$和$△CDF $中,
$\begin {cases}{∠P=∠C }\\{PD=CD} \\{∠PDE=∠CDF} \end {cases}$
所以$△PDE≌△CDF (\mathrm {ASA}) ； $
$(2)$如图,过点$E$作$EG⊥BC$于$G，$
所以$∠EGF= 90°，EG= CD=4，$
在$Rt△EGF$中，由勾股定理得$： FG=\sqrt {5²-4²}=3，$
设$CF=x，$由$(1)$知$： PE= AE= BG= x，$
因为$AD∥BC$
所以$∠DEF=∠BFE，$
由折叠得$：∠BFE= ∠DFE$
所以$∠DEF= ∠DFE$
所以$DE= DF=x+ 3 ，$
在$Rt△CDF$中,由勾股定理得$： DF²=CD²+CF²$
所以$x²+4²=(x+3)²$
所以$x=\frac {7}{6}$
所以$BC= 2x +3=\frac {7}{3}+3=\frac {16}{3}$
