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解：$(1)$设购买一个甲种笔记本需$ x $元，购买一个乙种笔记本需$ y $元

由题意，得$ \{\begin{array}{l}x=y+5\\15x+20y=250\end{array}，$解得$ \{\begin{array}{l}x=10\\y=5\end{array} $

∴购买一个甲种笔记本需$ 10 $元，购买一个乙种笔记本需$ 5 $元

$(2)$设购买$ m $个甲种笔记本，购买两种笔记本的总费用为$ n $元，则购买$ (35-m) $个乙种笔记本

由题意，得$ n=(10-2)m+5(35-m) ×0.8=4m+140，$且$ n \leqslant 250 ×90 \%，$

即$ 4m+140 \leqslant 250 ×90 \%，$解得$ m \leqslant 21 \frac {1}{4}$

∵$m $为自然数

∴$m $的最大值为$21，$且此时$n$取最大值，最大值为$4×21+140=224$

∴最多可以购买$21$个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为$224$元