证明：$(1)$∵$∠BCA=∠CAD，$
∴$AD// BC$
在$△AOD$和$△COB$中，
$ \begin{cases}{∠BCA=∠CAD }\\{AO=CO} \\{∠AOD=∠COB} \end{cases}$
∴$△AOD≌△COB(\mathrm {ASA})$
∴$AD= BC $
∴四边形$ABCD$是平行四边形.
$ (2) $连接$DF.$
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD= BC= 15，$$AB= CD，$$AD // BC，$$BD= 2OD，$
$ OA=OC=\frac 12AC=8$
∵$BD=2AB，$
∴$AB = OD.$
∴$DO=DC$
∵点$F $是$OC$的中点，
∴$OF=\frac 12OC=4，$$DF⊥OC$
∴$AF=OA+OF= 12.$
在$Rt△AFD$中，$DF=\sqrt {AD²-AF²}=\sqrt {15²-12²}=9$
∵点$G $是$AD$的中点，$∠AFD=90°，$
∴$DG= FG=\frac 12AD=7.5$
∵点$E、$$F $分别是$OB、$$OC$的中点，
∴$EF $是$△OBC$的中位线
∴$EF=\frac 12BC=7.5，$$EF // BC.$
∴$EF=DG，$$EF //AD$
∴四边形$GEFD$是平行四边形
∴$GE=DF=9.$
∴$△EFG $的周长$=GE +GF+ EF=9+7.5+7.5=24$
∴$△EFG $的周长为$24.$
