证明：$(1)$∵四边形$ABCD$为正方形，
∴$AB =AD=6，$$∠DAB= 90°.$
在$Rt△ADE$中，$AD=6，$$AE=AB+BE=6+2=8，$
∴$DE=\sqrt {6^2+8^2}=10$
∵$AF⊥DE，$
∴$\frac 12\ \mathrm {AF}×DE=\frac 12\ \mathrm {AD}×AE.$
∴$AF=\frac {6×8}{10}=4.8 $
$ (2)$如图，连接$AC$交$DE$于点$P，$连接$PB.$
∵四边形$ABCD$为正方形，
∴$AD=CD=CB，$$∠BAD=∠ADC= 90°，$
$ ∠ADB=∠DCA=∠BCA=45°.$
在$△CBP $和$△CDP $中，
$ \begin{cases}{CB=CD }\\{∠BCP=∠DCP} \\{CP=CP} \end{cases}$
∴$△CBP≌△CDP(\mathrm {SAS})$
∴$PB = PD，$$∠CBP =∠CDP.$
∵$∠NAB=∠ADE，$
∴$90°+∠NAB=90°-∠ADE，$
即$∠DAN =∠CDP.$
在$△DAN$和$△CDP $中，
$ \begin{cases}{∠ADN=∠DCP }\\{DA=CD} \\{∠DAN=∠CDP} \end{cases}$
∴$△DAN≌△CDP (\mathrm {ASA}).$
∴$AN=DP$
∵$∠CBP=∠CDP=∠DAN$
∴$EBP=∠MAN，$
∵$BP=DP，$$DP=AN，$
∴$BP=AN.$
在$△BEP $和$△AMN$中
$ \begin{cases}{BP=AN }\\{∠EBP=∠MAN} \\{BE=AM} \end{cases}$
∴$△BEP≌△AMN(\mathrm {SAS})$
∴$EP= MN $
∴$DE=DP+EP=AN+MN.$
