第67页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

解：∵$∠C=90°$

∴$s in A=\frac {BC}{AB}=\frac {5}{13} $

令$BC=5x，$$AB=13x$

则$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(13x)^2-(5x)^2}=12x$

∵$∠BDC=45°，$$∠C=90°$

∴$∠BDC=∠CBD=45°$

∴$BC=CD=5x$

∴$AD=AC-CD=7x=7$

∴$x=1$

∴$CD=5x=5$

3

①②④

解：$(2)$如图，过点$A$作$AD⊥BC$于点$D$

设$AD=x$

∵$tan C=\frac {1}{2}$

∴$CD=2x$

∵$AC=6 \sqrt{5}$

∴根据勾股定理，得$x^2+(2x)^2=(6 \sqrt{5} )^2$

解得$x=6$或$x=-6($不合题意，舍去)

∴$AD=6，$$CD=2x=12$

∵$AB=10$

∴根据勾股定理，得$BD=\sqrt{10^2-6^2}=8$

∴$BC=CD+BD=12+8=20$

解：设$AB=x$

∵在$Rt△ABC$中，$∠C=45°$

∴$tan C=\frac {AB}{BC}=1$

∴$BC=x$

∴$BD=BC-CD=x-10$

∵在$Rt△ABD$中，$∠ADB=60°$

∴$tan ∠ADB=\frac {AB}{BD}=\frac {x}{x-10}=\sqrt{3}$

解得$x=15+5 \sqrt{3}$

∴线段$AB$的长为$15+5 \sqrt{3}$

解：∵$H$为$AD$的中点

∴$AH=HD$

∵$E、$$G $分别为$AB、$$CD$的中点

∴$AE=\frac {1}{2}\ \mathrm {AB}，$$DG=\frac {1}{2}\ \mathrm {CD}$

∵四边形$ABCD$是矩形

∴$∠A=∠D=90°，$$AB=CD$

∴$AE=DG$

在$△AEH$和$△DGH$中

$AE=DG$

$∠A=∠D=90°$

$AH=DH$

∴$△AEH≌DGH(\mathrm {SAS})$

∴$EH=GH$

同理可得$EH=GH=FG=EF$

∵四边形$EFGH$的周长为$40\ \mathrm {cm}$

∴$EH=10\ \mathrm {cm}$

在$Rt △A EH $中，$s in ∠A EH =\frac {AH}{EH}=\frac {4}{5}$

∴$AH=8\ \mathrm {cm}，$$AE=\sqrt{EH^2-AH^2}=6\ \mathrm {cm}$

∴$AD=2\ \mathrm {AH}=16\ \mathrm {cm}，$$AB=2\ \mathrm {AE}=12\ \mathrm {cm}$

∴$S _{矩形ABCD}=AB · AD=12×16=192(\ \mathrm {cm^2}) $