解：（1）连接$AO。$
因为$\triangle ABC$为等边三角形，所以$AB = BC = AC。$
根据在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，可得$\angle AOB=\angle AOC=\angle BOC。$
所以$\angle BOC=\frac{1}{3}\times360^{\circ}=120^{\circ}。$
（2）过点$O$作$OD\perp AB$于点$D。$
由（1），易得$\angle AOB = 120^{\circ}。$
因为$OA = OB，$所以$\angle ABO = 30^{\circ}$（等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180^{\circ}$）。
所以$OD=\frac{1}{2}OB。$
因为$OD\perp AB，$根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times6 = 3。$
在$Rt\triangle BDO$中，由勾股定理，得$BD^{2}+OD^{2}=OB^{2}，$即$3^{2}+(\frac{1}{2}OB)^{2}=OB^{2}。$
设$OB=x，$则$9+\frac{1}{4}x^{2}=x^{2}，$
移项可得$x^{2}-\frac{1}{4}x^{2}=9，$
即$\frac{3}{4}x^{2}=9，$
$x^{2}=12，$
解得$x = 2\sqrt{3}$（负值舍去）。
所以$\odot O$的半径为$2\sqrt{3}。$
