证明：$ (1)$因为在四边形$ABCD$中，
$∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC = 360°，$
所以$∠ABC+∠ADC=360°-(α+β)。$
$ $因为$∠MBC+∠ABC = 180°，$
$∠NDC+∠ADC = 180°，$
所以$∠MBC+∠NDC$
$=180°-∠ABC + 180°-∠ADC$
$=360°-(∠ABC+∠ADC)$
$=360°-[360°-(α+β)]=α+β。$
$ (2)β-α= 90°。$
理由如下：
如图①，连接$BD，$
由$(1)$知，$∠MBC+∠NDC=α+β，$
因为$BE，$$DF $分别平分四边形的外角$∠MBC$和
$∠NDC，$
所以$∠CBG=\frac {1}{2}∠MBC，$$∠CDG=\frac {1}{2}∠NDC，$
所以$∠CBG+∠CDG=\frac {1}{2}∠MBC+\frac {1}{2}∠NDC$
$=\frac {1}{2}(∠MBC+∠NDC)=\frac {1}{2}(α+β)。$
$ $在$\triangle BCD $中，
$∠BDC+∠CBD=180°-∠BCD=180°-β，$
在$\triangle BDG $中，
$∠BGD = 45°，$$∠GBD+∠GDB+∠BGD = 180°，$
所以$∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD = 180°，$
所以$(∠CBG+∠CDG)+(∠CBD+∠BDC)+∠BGD = 180°，$
所以$\frac {1}{2}(α+β)+180°-β+ 45°=180°，$
所以$β-α= 90°。$
$ (3)BE// DF。$
理由如下：
如图②，延长$BC$交$DF $于点$H，$
由$(1)$知，$∠MBC+∠NDC=α+β，$
因为$BE，$$DF $分别平分四边形的外角$∠MBC$和
$∠NDC，$
所以$∠CBE=\frac {1}{2}∠MBC，$$∠CDH=\frac {1}{2}∠NDC，$
所以$∠CBE+∠CDH=\frac {1}{2}∠MBC+\frac {1}{2}∠NDC$
$=\frac {1}{2}(∠MBC+∠NDC)=\frac {1}{2}(α+β)。$
$ $因为$∠BCD+∠DCH=∠CDH+∠DHB+∠DCH，$
所以$∠BCD=∠CDH+∠DHB，$
所以$∠CDH=∠BCD-∠DHB=β-∠DHB，$
所以$∠CBE+β-∠DHB=\frac {1}{2}(α+β)。$
$ $因为$α=β，$
所以$∠CBE+β-∠DHB=\frac {1}{2}(β+β)=β，$
所以$∠CBE=∠DHB，$
所以$BE// DF。$
