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对顶角相等

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解：$ (1)$当$AC// BE$时，$BE$是$\triangle ABC$的外角平分线$. $

理由如下：当$AC// BE$时，$∠1 = ∠ABE，$

$∠2 = ∠DBE. $

因为$∠1 = ∠2，$

所以$∠ABE=∠DBE，$

所以$BE$是$\triangle ABC$的外角平分线$.$

$ (2)∠1 = ∠ABE. $

理由如下：当$∠1 = ∠ABE$时，由内错角相等，

两直线平行可得$AC// BE，$

所以$∠2 = ∠DBE. $

因为$∠1 = ∠2，$

所以$∠ABE = ∠DBE，$

所以$BE$是$\triangle ABC$的外角平分线$.$

$ (3)$是真命题，理由如下：

$ $因为$BE$是$\triangle ABC$的外角平分线，

所以$∠ABE = ∠DBE. $

因为$AC// BE，$

所以$∠1 = ∠ABE，$$∠2 = ∠DBE，$

所以$∠1 = ∠2.$

如果两个角的两边分别平行，那么这两个

角相等或互补

解：$(1)∠ABC=∠DEF，$

理由如下:如题图①中.

因为$EF∥BC，$

所以$ ∠DPC=∠DEF.$

因为$DE∥AB，$

所以$∠ABC=∠DPC，$

所以$∠ABC=∠DEF.$

$(2)∠ABC+∠DEF=180°，$

理由如下:如图,

因为$EF∥BC，$

所以$ ∠DPB=∠DEF$

因为$DE∥AB，$

所以$∠ABC+∠DPB=180°，$

所以$∠ABC+∠DEF=180°.$

$(4)$设两个角分别为$x$和$2x - 15°，$

由题意得$x = 2x - 15°$或$x + 2x - 15°=180°。$

$ $解方程$x = 2x - 15°，$解得$x = 15°。$

$ $解方程$x + 2x - 15°=180°，$

解得$x = 65°，$

$2x - 15°=2×65°-15°=115°。$

$ $所以这两个角的度数为$15°，$$15°$或$65°，$$115°。$

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