解:$(2)$因为$(a,3)$为$“$美好组$”,$则
$a + 3=a×3,$
$ $解得$a=\frac {3}{2}。$
$ (3)$解方程组$\begin {cases}x - 2y=m - 9\\2x + y=2m - 7\end {cases},$
可得:$\begin {cases}{x=m - 4.6}\\{y=2.2}\end {cases}$
$ $若$(x,y)$是$“$美好组$”,$则
$m - 4.6+2.2=(m - 4.6)×2.2,$
$ $解得$m=\frac {193}{30}。$
$ $所以当$m=\frac {193}{30}$时,$(x,y)$是$“$美好组$”。$