第49页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专版

30°

$ (-\sqrt {3}，1)$

40°

证明：$(1)$∵$ \overset {\frown }{BC}=\overset {\frown }{BC}，$

∴$ ∠BAC = ∠CDB.$

∵$ ∠BAC = ∠ADB，$

∴$ ∠CDB = ∠ADB，$即$DB$平分$∠ADC.$

∵$ BD$平分$∠ABC，$

∴$ ∠ABD = ∠CBD.$

∵$ △ABD$与$△CBD$的内角和均为$180°，$

∴$ ∠BAD = ∠BCD.$

∵$ $四边形$ABCD$是圆内接四边形，

∴$ ∠BAD + ∠BCD = 180°，$

∴$ ∠BAD = ∠BCD = 90°.$

$ (2)$∵$ ∠BAD = 90°，$

∴$ BD$是圆的直径$.$

∵$ ∠ABD = ∠CBD，$

∴$ \overset {\frown }{AD}=\overset {\frown }{CD}，$

∴$ AD = CD.$

∵$ AC = AD，$

∴$ AC = AD = CD，$

∴$ △ADC$是等边三角形，

∴$ ∠ADC = 60°，$

∴$ ∠CDB = \frac {1}{2}∠ADC = 30°，$

∴$ $在$Rt△BCD$中，易得$BD = 2BC.$

∵$ CF//AD，$

∴$ ∠F + ∠BAD = 180°，$

∴$ ∠F = 90°.$

∵$ $四边形$ABCD$是圆内接四边形，

∴$ ∠ADC + ∠ABC = 180°，$

∴$ ∠ABC = 120°，$

∴$ ∠FBC = 180° - ∠ABC = 60°，$

∴$ ∠FCB = 90° - 60° = 30°，$

∴$ $在$Rt△BFC$中，易得$BF = \frac {1}{2}BC.$

∵$ BF = 2，$

∴$ BC = 4，$

∴$ BD = 8.$

∵$ BD$是圆的直径，

∴$ $该圆的半径为$\frac {1}{2}BD = 4.$

证明：$(1)$∵$ $四边形$ABCD$内接于$⊙O，$

∴$ ∠ABC + ∠ADC = 180°.$

∵$ ∠ABC = 60°，$

∴$ ∠ADC = 120°.$

∵$ DB$平分$∠ADC，$

∴$ ∠ADB=∠CDB=60°.$

∵$ \overset {\frown }{AB}=\overset {\frown }{AB}，$$\overset {\frown }{BC}=\overset {\frown }{BC}，$

∴$ ∠ACB = ∠ADB = 60°，$$∠BAC = ∠CDB = 60°，$

∴$ ∠ABC = ∠ACB = ∠BAC，$

∴$ △ABC$是等边三角形$.$

$ (2)$解：如图，过点$A$作$AM⊥CD，$交$CD$的延长线于点$M.$

∴$ ∠AMD = 90°.$

∵$ ∠ADC = 120°，$

∴$ ∠ADM = 180° - ∠ADC = 60°，$

∴$ $在$Rt△AMD$中，$∠DAM = 30°，$

∴$ $易得$DM = \frac {1}{2}AD = 1，$

∴$ AM = \sqrt {AD^2-DM^2}=\sqrt {3}.$

∵$ CD = 3，$

∴$ CM = CD + DM = 4，$

∴$ $在$Rt△AMC$中，$AC = \sqrt {AM^2+CM^2} = \sqrt {19}.$

∵$ △ABC$是等边三角形，

∴$ AB = BC = AC = \sqrt {19}，$

∴$ △ABC$的周长为$3\sqrt {19}.$