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$x^{2}-140x + 4875 = 0$

$0.2$或$0.3$

解:(1)$(14 - 10)\div2 + 1 = 3$（档次）.

答：此批次蛋糕属于第三档次蛋糕.

(2)设该烘焙店生产的是第$x$档次的蛋糕.

根据题意，得$[2(x - 1)+10]×[76 - 4(x - 1)] = 1080，$

展开式子得$(2x - 2 + 10)(76 - 4x + 4)=1080，$

即$(2x + 8)(80 - 4x)=1080，$

$160x-8x^{2}+640 - 32x = 1080，$

整理得$-8x^{2}+128x + 640 - 1080 = 0，$

即$x^{2}-16x + 55 = 0，$

对于一元二次方程$x^{2}-16x + 55 = 0，$

其中$a = 1，$$b=-16，$$c = 55，$

根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，$

可得$x=\frac{16\pm\sqrt{(-16)^{2}-4×1×55}}{2×1}=\frac{16\pm\sqrt{256 - 220}}{2}=\frac{16\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{16\pm6}{2}，$

解得$x_{1}=5，$$x_{2}=11$（不合题意，舍去）.

答：该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕.

$ $解$：(1)$设每件商品的售价定为$x$元，

则每件商品的利润为$(x - 40)$元，日销售量为$20+\frac {10(60 - x)}{5}=(140 - 2x)$件$. $

根据题意，得$(x - 40)(140 - 2x)=(60 - 40)×20.$

$ $展开式子得$140x-2x^2-5600 + 80x = 400，$

$ $整理得$x^2-110x + 3000 = 0，$

$ $对于一元二次方程$x^2-110x + 3000 = 0，$其中$a = 1，$$b=-110，$$c = 3000，$

$ $根据求根公式$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}，$

可得$x=\frac {110\pm \sqrt {(-110)^2-4×1×3000}}{2×1}=\frac {110\pm \sqrt {12100 - 12000}}{2}=\frac {110\pm \sqrt {100}}{2}=\frac {110\pm 10}{2}，$

$ $解得$x_{1}=50，$$x_{2}=60.$

∵商家想尽快销售完该款商品，

∴$x = 50.$

答：每件商品的售价应定为$50$元$.$

$(2)$设该款商品打$a$折销售$. $根据题意，得$62.5×\frac {a}{10}\leq 50，$

$ $两边同时乘以$10$得$62.5a\leq 500，$

$ $两边同时除以$62.5$得$a\leq 8.$

答：该款商品至少需打$8$折销售$.$