第21页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专版

解：$(1)$由题意，对于方程$x^2-6x + 2m - 1 = 0，$

因为$x_{1} = 1，$根据根与系数的关系$x_{1}+x_{2}=6，$$x_{1}·x_{2}=2m - 1。$

$ $则$1 + x_{2} = 6，$解得$x_{2} = 5；$

$ 1×x_{2}=2m - 1，$即$5 = 2m - 1，$解得$m = 3。$

$ (2) $解：存在。

根据题意，方程$x^2-6x + 2m - 1 = 0$中，$∆=(-6)^2-4(2m - 1)\geqslant 0，$

$ 36-8m + 4\geqslant 0，$

$ 40-8m\geqslant 0，$

$ $解得$m\leqslant 5。$

$ $假设存在实数$m，$满足$(x_{1} - 1)(x_{2} - 1)=\frac {6}{m - 5}，$

$ $因为$x_{1} + x_{2} = 6，$$x_{1}x_{2} = 2m - 1，$

$ $则$x_{1}x_{2}-(x_{1} + x_{2})+1=\frac {6}{m - 5}，$

$ $即$2m - 1-6 + 1=\frac {6}{m - 5}，$

$ 2m-6=\frac {6}{m - 5}，$

$ (2m - 6)(m - 5)=6，$

$ 2\ \mathrm {m^2}-10m-6m + 30 = 6，$

$ 2\ \mathrm {m^2}-16m + 24 = 0，$

$\mathrm {m^2}-8m + 12 = 0，$

$ (m - 2)(m - 6)=0，$

$ $解得$m_{1} = 2，$$m_{2} = 6。$

$ $因为$m\leqslant 5$且$m - 5\neq 0，$所以$m = 2。$

经检验，$m = 2$是原分式方程的解，且符合题意。

所以假设成立，即存在实数$m = 2，$满足$(x_{1} - 1)(x_{2} - 1)=\frac {6}{m - 5}。$

解：$(1)$因为方程$x^2-(2k + 1)x + k^2+2k = 0$有两个实数根，

$ $所以$∆=b^2-4ac=[-(2k + 1)]^2-4(k^2+2k)$

$ =4k^2+4k + 1-4k^2-8k$

$ =1 - 4k\geqslant 0，$

$ $解得$k\leqslant \frac {1}{4}。$

$ (2) $解：不存在。

理由：假设存在实数$k，$使得$x_{1}(x_{2} - x_{1})-x_{2}^2\geqslant 0$成立。

$ $因为$x_{1}、$$x_{2}$是原方程的两个实数根，

$ $所以$x_{1} + x_{2} = 2k + 1，$$x_{1}x_{2} = k^2+2k。$

$ $因为$x_{1}(x_{2} - x_{1})-x_{2}^2\geqslant 0，$即$x_{1}x_{2}-x_{1}^2-x_{2}^2\geqslant 0，$

$ $所以$3x_{1}x_{2}-(x_{1} + x_{2})^2\geqslant 0，$

$ $即$3(k^2+2k)-(2k + 1)^2\geqslant 0，$

$ 3k^2+6k-(4k^2+4k + 1)\geqslant 0，$

$ 3k^2+6k-4k^2-4k - 1\geqslant 0，$

$ -k^2+2k - 1\geqslant 0，$

$ k^2-2k + 1\leqslant 0，$

$ (k - 1)^2\leqslant 0。$

$ $所以$k = 1。$

$ $由$ (1)，$知$k\leqslant \frac {1}{4}，$

$ $所以不存在实数$k，$使得$x_{1}(x_{2} - x_{1})-x_{2}^2\geqslant 0$成立。

 解：因为一元二次方程$2x^{2}-4x - 1 = 0$的两个实数根为$m$、$n，$

 所以$2m^{2}-4m - 1 = 0，$$m + n=-\frac{-4}{2}=2，$$mn=-\frac{1}{2}，$

 所以$2m^{2}-4m = 1，$

 所以$3m^{2}-4m + n^{2}=2m^{2}-4m + m^{2}+n^{2}=1+(m + n)^{2}-2mn$

 $=1+2^{2}-2\times(-\frac{1}{2})$

 $=1 + 4 + 1$

 $=6。$