解：$(2)\begin {cases}1\leqslant x\leqslant 3， \\ax - 3<\frac {1}{2}x + 2\end {cases}$
解不等式$ax - 3<\frac {1}{2}x + 2，$得$(2a - 1)x<10。$
当$2a - 1>0，$即$a>\frac {1}{2}$时，$x<\frac {10}{2a - 1}。$
因为$d = 2，$$1\leqslant x\leqslant 3，$$3 - 1 = 2，$
所以$\frac {10}{2a - 1}\geqslant 3，$解得$a\leqslant \frac {13}{6}，$
所以$\frac {1}{2}<a\leqslant \frac {13}{6}；$
当$2a - 1<0，$即$a<\frac {1}{2}$时，$x>\frac {10}{2a - 1}。$
因为$d = 2，$$1\leqslant x\leqslant 3，$$3 - 1 = 2，$
所以$\frac {10}{2a - 1}\leqslant 1，$解得$a\leqslant \frac {11}{2}，$
所以$a<\frac {1}{2}；$
当$a=\frac {1}{2}$时，不等式组的解集为$1\leqslant x\leqslant 3，$满足
题意。
综上所述，$a$的取值范围是$a\leqslant \frac {13}{6}。$
$(3)\begin {cases}1\leqslant x\leqslant 3， \\a ≤x≤\frac {1}{2}a + 2\end {cases}$
当$a\leqslant 1＜3\leqslant \frac {1}{2}a + 2$时，这种情况不存在。
当$a\leqslant 1＜\frac {1}{2}a + 2\leqslant 3$时，不等式组的解集为
$1\leqslant x\leqslant \frac {1}{2}a + 2。$
因为$d=\frac {3}{2}，$
所以$\frac {1}{2}a + 2-1=\frac {3}{2}，$解得：$a=1$
当$1\leqslant a＜\frac {1}{2}a + 2\leqslant 3$时，不等式组的解集为
$a\leqslant x\leqslant \frac {1}{2}a + 2，$
所以$\frac {1}{2}a + 2-a=\frac {3}{2}，$解得：$a=1$
当$1\leqslant a＜3\leqslant \frac {1}{2}a + 2，$不等式组的解集为
$a\leqslant x\leqslant 3，$
所以$3 - a=\frac {3}{2}，$解得：$a=\frac {3}{2}$
此时$\frac {1}{2}a + 2=\frac {11}{4}＜3，$不符合
$1\leqslant a＜3\leqslant \frac {1}{2}a + 2；$
当$\frac {1}{2}a + 2＜1$或$a＞3$时，不等式组无解。
综上所述，$a = 1。$
不等式组$\begin {cases}y + 1＞m\\ay - 1\leqslant 2m\end {cases}$为$\begin {cases}y + 1＞m\\y - 1\leqslant 2m\end {cases}$
解得：$m - 1＜y\leqslant 2m + 1。$
$2m + 1-(m - 1)=m + 2，$
当$3＜m + 2＜5$时，该不等式组可能恰好有$4$个
“整点”，此时$1＜m＜3，$则$0＜m - 1＜2。$
$①$当$1＜m＜2$时，即$0＜m - 1＜1，$要使得该不
等式组恰好有$4$个$“$整点$”，$则$4\leqslant 2m + 1＜5，$
解得：$\frac {3}{2}\leqslant m＜2$
$②$当$2\leqslant m＜3$时，即$1\leqslant m - 1＜2，$要使得该
不等式组恰好有$4$个$“$整点$”，$则$5\leqslant 2m + 1＜6，$
解得：$2\leqslant m＜\frac {5}{2}$
综合$①②$可得$\frac {3}{2}\leqslant m＜\frac {5}{2}。$
