解：任务$1$：由题图可知，
$A$型木板的宽为$50\div5 = 10(\text{cm})$
$B$型木板的宽和$C$型木板的长均为
$(50 - 10)\div2 = 20(\text{cm})$
由题图①可知，$C$型木板的宽与$A$型木板的宽相
同，均为$10\ \mathrm {cm}$
由题图②可知，$A$型木板的长$ = 3$个$C$型木板的
宽$ = 30\ \mathrm {cm}，$$A$型木板的长等于$B$型木板的长
所以$A$型木板的面积为$30×10 = 300(\text{cm}^2)$
$B$型木板的面积为$30×20 = 600(\text{cm}^2)$
$C$型木板的面积为$20×10 = 200(\text{cm}^2)$
$ $任务$2$：设用$x$张按照甲方式制作$A$型木板，$y$张按
照乙方式制作$B$型木板，则$(24 - x - y)$张按照丙
方式制作$C$型木板，则共制作$A$型木板
$5x + y+24 - x - y=(4x + 24)$张，共制作$B$型木
板$2y$张，共制作$C$型木板$6(24 - x - y)$张
由题图①可知，制作一个木箱需要$2$张$A$型木板，
$2$张$B$型木板和$1$张$C$型木板，
所以$\begin {cases}4x + 24 = 2y\\2y = 2×6(24 - x - y)\end {cases}$
解得：$\begin {cases}{x=3}\\{y=18}\end {cases}$
$ $所以共制作$C$型木板$6×(24 - 3 - 18)=18($张$)，$
所以共能制作木箱$18$个，木箱的总体积为
$18×30×20×10 = 108000(\text{cm}^3)$
$ $任务$3$：设用$x$张按照甲方式制作$A$型木板，$y$张按
照乙方式制作$B$型木板，则$(m - x - y)$张按照丙
方式制作$C$型木板，则共制作$A$型木板
$5x + y+m - x - y=(4x + m)$张，共制作$B$型木
板$2y$张，共制作$C$型木板$6(m - x - y)$张，
因为原来有$20$张$B$型号木板，故共$(2y + 20)$张$B$型
木板，
由题意，得$\begin {cases}4x + m = 2y + 20\\2y + 20 = 2×6(m - x - y)\end {cases}$
解得：$m = 8x - 24(x，y$均为正整数$)$
$ $当$x = 5$时，$m = 16，$$y = 8，$即按甲方式切割$5$
张，按乙方式切割$8$张，按丙方式切割$3$张，此时
$m = 16。$
