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证明：∵$AD⊥BC，$$EF⊥BC($已知)

∴$∠ADC=∠EFC=90°($垂直定义)

∴$AD//EF($同位角相等，两直线平行)

∴$∠E=∠CAD($两直线平行，同位角相等)

$∠BAD=∠AGE($两直线平行，内错角相等)

又∵$∠E=∠AGE($已知)

∴$∠CAD=∠BAD($等量代换)，即$AD$平分$∠BAC$

解：$(1)$如图所示

$(2)OA//CD，$证明如下：

∵$OP $平分$∠AOB($已知$)$

∴$∠COD=∠AOP($角平分线定义$)$

又∵$∠OCD=∠BOP($已知$)$

∴$∠OCD=∠AOP($等量代换$)$

∴$OA//CD($内错角相等，两直线平行)

解：假设存在三个正整数，它们的和与积相等，

不妨设这三个正整数为$a、$$b、$$c，$且$a≤b≤c，$则$abc=a+b+c(※)$

所以$abc=a+b+c≤c+c+c=3c，$所以$ab≤3，$

若$a≥2，$则$b≥a≥2，$所以$ab≥4，$与$ab≤3$矛盾$．$

因此$a=1，$$b=1$或$2$或$3，$

$①$当$a=1，$$b=1$时，代入等式$(※)$得$1+1+c=1•1•c，$$c $不存在$．$

$②$当$a=1，$$b=2$时，代入等式$(※)$得$1+2+c=1•2•c，$$c=3．$

$③$当$a=1，$$b=3$时，代入等式$(※)$得$1+3+c=1•3•c，$$c=2，$与$b≤c{矛盾}，$舍去．

所以$a=1，$$b=2，$$c=3，$因此假设成立，即存在三个正整数，它们的和与积相等．